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Matrice antisimmetrica

In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata la cui trasposta è anche la sua opposta, ovvero:

In termini dei suoi elementi , per ogni e vale:

Per esempio, la matrice:

è antisimmetrica.

Indice

ProprietàModifica

Diagonale principaleModifica

Tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione  . In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.

DeterminanteModifica

Se   è una matrice antisimmetrica di ordine n, il suo determinante soddisfa:

 

In particolare, se n è dispari il determinante è zero. Se n è pari, invece, il determinante di   è il quadrato di un polinomio   (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di  :

 

Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale sono numeri immaginari puri, e a ogni autovalore corrisponde l'autovalore coniugato, con la stessa molteplicità. Pertanto  , essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è un prodotto di numeri reali positivi.

Matrici simmetriche e antisimmetricheModifica

Per ogni matrice quadrata  , la matrice   è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice   è una matrice simmetrica.

È possibile (se   ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere   come:

 

ovvero come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di   in questo caso è:

 

Teoria spettraleModifica

Se una matrice antisimmetrica   ha un autovalore   allora ha anche un autovalore  . Ovvero, se:

 

allora  , quindi:

 

In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie  , eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.

Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma  , con   reale.

Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica   in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale   (con  ), ovvero in modo che   sia di una delle due forme:

 

con autovalori   (più un autovalore   se n è dispari).

Forme alternantiModifica

Una forma alternante (o antisimmetrica)   su uno spazio vettoriale   sopra un campo   (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare   tale che:

 

Ogni forma alternante   viene rappresentata da una matrice antisimmetrica   su una base di  ,  , e viceversa.

Rotazioni infinitesimaliModifica

Le matrici antisimmetriche di ordine n con elementi in un campo   sono uno spazio vettoriale su   di dimensione n(n − 1)/2, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale   nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da rotazioni infinitesimali.

Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie   del gruppo di Lie  . La parentesi di Lie su di esso è il commutatore  , che è antisimmetrico:

 

Inoltre, la matrice esponenziale   di una matrice antisimmetrica   è una matrice ortogonale:

 

Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di  , il gruppo ortogonale speciale  , e ogni rotazione   ha determinante  . In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante  ) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.

BibliografiaModifica

  • (EN) S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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