Matrice compagna

In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

è la matrice quadrata di ordine n avente sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di , cambiati di segno, sull'ultima riga:

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di , cambiati di segno, sull'ultima colonna:

ProprietàModifica

  • La matrice compagna di   ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a  ; i suoi autovalori sono le radici di  .
  • Per ogni radice   di  , il vettore   è un autovettore di   con autovalore  . In particolare, se tutte le radici di   sono distinte allora   è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
  • Per ogni campo   la matrice   esprime la moltiplicazione per   sull'anello  , espresso come spazio vettoriale su   con la base  . In particolare, se   è irriducibile su   e   è una sua radice,   esprime la moltiplicazione per   sul campo  .
  • Se   è una matrice   su un campo  , sono equivalenti gli enunciati:
    •   è simile alla matrice compagna su   del proprio polinomio caratteristico;
    • il polinomio caratteristico di   è uguale al suo polinomio minimo;
    • esiste un vettore   tale che   è una base di  .

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice blocchi diagonale di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1985, pp. 146–147, ISBN 0-521-30586-1. URL consultato il 10 febbraio 2010.
  • (EN) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

Voci correlateModifica

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