Matrice definita positiva
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata tale che, detto il trasposto complesso coniugato di , si verifica che la parte reale di è positiva per ogni vettore complesso .
Definizione
modificaNonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice quadrata (di dimensioni ) si dice definita positiva quando:[1]
ossia quando il prodotto , che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo (indicando con il vettore complesso coniugato trasposto del vettore ).
In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:
è definita positiva, ossia per .
Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana sono strettamente positivi.[1]
Matrici hermitiane
modificaUna matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana di dimensione è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):
- Per tutti i vettori non nulli in si ha , dove è visto come un vettore colonna con componenti complesse e come la complessa coniugata della sua trasposta. Se è hermitiana, è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
- Per tutti i vettori non nulli in si ha , dove denota la trasposta del vettore colonna .
- Per tutti i vettori non nulli in (tutte le componenti sono intere), si ha .
- Tutti gli autovalori di sono numeri reali positivi.
- La forma hermitiana definisce un prodotto hermitiano definito positivo su .
- Criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo (i minori principali secondo l'ordine da a ). Altrimenti detto, tutti i determinanti delle matrici Nord-Ovest sono positivi non nulli.
Proprietà
modificaLe matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.
- Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
- Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
- Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
- Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
- Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
- Se è definita positiva e è un numero reale, allora è definita positiva.
- Se e sono definite positive, allora è anch'essa definita positiva; se inoltre , cioè le matrici commutano, allora è anch'essa definita positiva.
- Ogni matrice definita positiva ha una radice quadrata, cioè una matrice tale che . Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
- Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è dove è il rango della matrice.
- Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali di guida sono tutti positivi.
Matrici definite negative, semidefinite e indefinite
modificaLa matrice hermitiana si dice definita negativa se:
per tutti gli elementi non nulli in (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli in ).
La matrice è chiamata semidefinita positiva se:
Per tutti gli in (o ) si dice invece semidefinita negativa se:
per tutti gli in (o ). Come sopra, indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui sia un vettore in , questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere al posto di .
Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.
Prodotti scalari e forme hermitiane
modificaLe matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia un campo o , uno spazio vettoriale su , e una forma hermitiana se o un prodotto scalare se . La forma è chiamata definita positiva se per ogni in diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a una struttura simile a quella dello spazio euclideo.
Forme quadratiche
modificaLa forma quadratica associata ad una matrice reale è la funzione tale che per tutti gli . La matrice è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.
Più in generale, ogni polinomio di secondo grado può essere scritto come , dove è una matrice simmetrica , è un vettore reale e una costante. La funzione è strettamente convessa se è definita positiva.
Diagonalizzazione simultanea
modificaUna matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se è simmetrica e è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:
Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di come , con che in particolare è invertibile in quanto lo è . Moltiplicando per e ponendo si ottiene:
che, siccome , può essere riscritta come:
Essendo simmetrica, dal teorema spettrale esiste una matrice tale che e , dove è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati e le colonne di sono una base ortonormale di autovettori di . Per la sostituzione fatta in precedenza si ha quindi che, ponendo , le colonne di soddisfano l'equazione (cioè sono gli autovalori generalizzati) e . Si trova allora che e . Dall'ultima relazione si deduce che:
Moltiplicando per si ottiene:
anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale rispetto al prodotto scalare canonico (infatti non è in generale una matrice ortogonale).
Note
modificaBibliografia
modifica- Marius Stoka, Corso di geometria, CEDAM, 1995, ISBN 88-13-19192-8.
- (EN) Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.
- (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
- (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.
- (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice definita positiva, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) AA. VV., Positive-definite form, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) V.S. Shul'man, Positive-definite kernel, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.