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Matrice definita positiva

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata tale che, detto il trasposto complesso coniugato di , si verifica che la parte reale di è positiva per ogni vettore complesso .

Indice

DefinizioneModifica

Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice   quadrata (di dimensioni  ) si dice definita positiva quando:[1]

 

ovvero quando il prodotto  , che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo   (indicando con   il vettore complesso coniugato trasposto del vettore  ).

In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:

 

è definita positiva, ovvero   per  .

Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana   sono strettamente positivi.[1]

Matrici hermitianeModifica

Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana   di dimensione   è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

  • Per tutti i vettori non nulli   in   si ha  , dove   è visto come un vettore colonna con   componenti complesse e   come la complessa coniugata della sua trasposta. Se   è hermitiana,   è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
  • Per tutti i vettori non nulli   in   si ha  , dove   denota la trasposta del vettore colonna  .
  • Per tutti i vettori non nulli   in   (tutte le componenti sono intere), si ha  .
  • Tutti gli autovalori di   sono numeri reali positivi.
  • La forma hermitiana   definisce un prodotto hermitiano definito positivo su  .
  • Criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo (i minori principali secondo l'ordine da 1 a n). Altrimenti detto, tutti i determinanti delle matrici Nord-Ovest sono positivi non nulli.

ProprietàModifica

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

  • Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
  • Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
  • Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
  • Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
  • Se   è definita positiva e   è un numero reale, allora   è definita positiva.
  • Se   e   sono definite positive, allora   è anch'essa definita positiva; se inoltre  , cioè le matrici commutano, allora   è anch'essa definita positiva.
  • Ogni matrice definita positiva   ha una radice quadrata, cioè una matrice   tale che  . Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
  • Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è   dove   è il rango della matrice.
  • Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali di guida sono tutti positivi.

Matrici definite negative, semidefinite e indefiniteModifica

La matrice hermitiana   si dice definita negativa se:

 

per tutti gli elementi non nulli   in   (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli   in  ).

La matrice   è chiamata semidefinita positiva se:

 

Per tutti gli   in   (o  ) si dice invece semidefinita negativa se:

 

per tutti gli   in   (o  ). Come sopra,   indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui   sia un vettore in  , questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere   al posto di  .

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

Prodotti scalari e forme hermitianeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare e Forma sesquilineare.

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia   un campo   o  ,   uno spazio vettoriale su  , e   una forma hermitiana se   o un prodotto scalare se  . La forma   è chiamata definita positiva se   per ogni   in   diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a   una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Forme quadraticheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Forma quadratica.

La forma quadratica associata ad una matrice reale   è la funzione   tale che   per tutti gli  . La matrice   è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.

Più in generale, ogni polinomio di secondo grado   può essere scritto come  , dove   è una matrice simmetrica  ,   è un vettore reale e   una costante. La funzione   è strettamente convessa se   è definita positiva.

Diagonalizzazione simultaneaModifica

Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se   è simmetrica e   è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:

 

dove si impone che   sia normalizzato, cioè  . Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di   come  . Moltiplicando per   e   si ottiene:

 

che può essere riscritta come:

 

dove  . Tramite alcune manipolazioni si ottiene:

 

dove   è una matrice avente come colonne gli autovettori generalizzati e   è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati. Moltiplicando quindi per   si ha:

 

anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale.

NoteModifica

  1. ^ a b (EN) Eric W. Weisstein, Positive definite matrix, in MathWorld, Wolfram Research.

BibliografiaModifica

  • Marius Stoka, Corso di geometria, CEDAM, 1995, ISBN 88-13-19192-8.
  • (EN) Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.
  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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