Matrice di Cartan

In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.

Algebre di LieModifica

Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata     con entrate numeri interi tali che:

  1. per entrate diagonali   
  2. per entrate non diagonali   
  3.   se e solo se  
  4.    può essere scritta come  , dove   è una matrice diagonale e   è una matrice simmetrica.

La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.

È sempre possibile scegliere una matrice   con entrate diagonali positive. In tal caso, se   nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora   è detta matrice di Cartan.

La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari

 

dove   sono le radici semplici dell'algebra. Gli elementi sono interi per una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per  , il vettore

 

è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici   e   con un coefficiente positivo per   e quindi il coefficiente per   deve essere non negativo.

La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano   e  . Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice   è definita positiva.

Rappresentazione delle algebre a dimensione finitaModifica

Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensioni finite   che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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