Matrice di cambiamento di base

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base o di coordinate è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$ . Siano $B$ e $C$ due basi di $V$ , e siano $\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}$ i vettori che compongono la base $B$ . Si definisce matrice di cambiamento di coordinate dalla base $B$ alla base $C$ l'unica matrice $[M]_{C}^{B}$ le cui colonne sono le coordinate dei vettori $\mathbf {b} _{i}$ rispetto ai vettori della base $C$ :^[1]

[M]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}\ [\mathbf {b} _{1}]_{C}&\cdots &[\mathbf {b} _{n}]_{C}\ \end{bmatrix}}

Si ha allora:^[2]

[\mathbf {v} ]_{C}=[M]_{C}^{B}[\mathbf {v} ]_{B}\qquad [\mathbf {v} ]_{B}=([M]_{C}^{B})^{-1}[\mathbf {v} ]_{C}

In particolare, la matrice $[M]_{C}^{B}$ è la matrice associata alla funzione identità su $V$ rispetto alle basi $B$ nel dominio e $C$ nel codominio.

Se $K=\mathbb {R}$ è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

Rappresentazione grafica nel piano cartesiano

Fig.1.
Il vettore

u

ha coordinate:

({\begin{smallmatrix}5\\3\end{smallmatrix}})

nel piano

\scriptstyle (x,y)

,

({\begin{smallmatrix}3\\1\scriptstyle \end{smallmatrix}})

rispetto alla base

\scriptstyle B

e

({\begin{smallmatrix}-7\\5\end{smallmatrix}})

rispetto alla base

\scriptstyle C

.

Fig.2.
Al vettore

[v_{1}]_{B}=({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}})

, primo vettore della base

B

, corrisponde il vettore

[v_{1}]_{C}=({\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}})

che si identifica con la

\scriptstyle 1^{a}

colonna della matrice

\scriptstyle [M]_{C}^{B}

.
Al vettore

[v_{2}]_{B}=({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}})

, secondo vettore della base

B

, corrisponde il vettore

[v_{2}]_{C}=({\begin{smallmatrix}-4\\2\end{smallmatrix}})

che si identifica con la

\scriptstyle 2^{a}

colonna della matrice

\scriptstyle [M]_{C}^{B}

.

Fig.3.
Al vettore

[w_{1}]_{C}=({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}})

, primo vettore della base

C

, corrisponde il vettore

[w_{1}]_{B}=({\begin{smallmatrix}1\\-{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}})

che si identifica con la

\scriptstyle 1^{a}

colonna della matrice

\scriptstyle [M]_{B}^{C}

.
Al vettore

[w_{2}]_{C}=({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}})

, secondo vettore della base

C

, corrisponde il vettore

[w_{2}]_{B}=({\begin{smallmatrix}2\\-{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}})

che si identifica con la

\scriptstyle 2^{a}

colonna della matrice

\scriptstyle [M]_{B}^{C}

.

Rifacendoci alla fig.1 supponiamo di avere nel piano cartesiano il vettore $u$ di coordinate:

u={\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}

.

Siano poi $(v_{1},v_{2})$ e $(w_{1},w_{2})$ due coppie di vettori che nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{2}$ individuano rispettivamente la base $B$ e la base $C$ date da:

B=\left(v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\right)

C=\left(w_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},w_{2}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\right)

La coppia $(v_{1},v_{2})$ può rappresentare un qualunque vettore del piano cartesiano (e quindi ne rappresenta una base) trattandosi di vettori non paralleli e pertanto indipendenti; altrettanto vale per la coppia $(w_{1},w_{2})$ .

Si verifica facilmente che si può ottenere il vettore $u$ come combinazione di vettori della base $B$ e della base $C$ mediante le seguenti equazioni:

u=3v_{1}+v_{2}

(1)

u=-7w_{1}+5w_{2}

(2)

Pertanto, le coordinate del vettore $u$ rispetto alle basi $B$ e $C$ sono date da:

[u]_{B}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

[u]_{C}={\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}

Graficamente, in base $B$ il vettore $u$ è dato dalla somma dei vettori $v_{1}$ ' e $v_{2}$ ': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di $v_{1}$ e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore $u$ e parallela a $v_{2}$ . Si ottengono così il vettore $v_{1}$ ' con modulo pari a tre volte quello di $v_{1}$ e il vettore $v_{2}$ ' con modulo pari a $v_{2}$ conformemente all'equazione $(1)$ che può essere riscritta come:

u=3v_{1}+v_{2}=v_{1}

'

+v_{2}

'

v_{1}

'

=3v_{1}

v_{2}

'

=v_{2}

Analogamente, in base $C$ il vettore $u$ è dato dalla somma dei vettori $w_{1}$ ' e $w_{2}$ ': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di $w_{1}$ e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore $u$ e parallela a $w_{2}$ . Si ottengono così il vettore $w_{1}$ ', nella fattispecie opposto in verso a $w_{1}$ , con modulo pari a sette volte quest'ultimo e il vettore $w_{2}$ ' con modulo pari a cinque volte $w_{2}$ conformemente all'equazione $(2)$ che può essere riscritta come:

u=-7w_{1}+5w_{2}=w_{1}

'

+w_{2}

'

w_{1}

'

=-7w_{1}

w_{2}

'

=5w_{2}

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base $B$ a quelle in base $C$ è data da:

[M]_{C}^{B}={\begin{pmatrix}-1&-4\\1&2\end{pmatrix}}

Vale, a riprova, l'identità $[u]_{C}=[M]_{C}^{B}[u]_{B}$ come di seguito riportato:

{\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

La fig.2 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base $C$ al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base $B$ conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base $C$ a quelle in base $B$ è data dalla sua inversa:

[M]_{B}^{C}={\begin{pmatrix}1&2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}

Vale, a riprova, l'identità $[u]_{B}=[M]_{B}^{C}[u]_{C}$ come di seguito riportato:

{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}

La fig.3 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base $B$ al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base $C$ conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

Composizione

La matrice di cambiamento di base permette di codificare la relazione fra basi diverse attraverso la composizione di funzioni. Siano $B_{1}$ , $B_{2}$ e $B_{3}$ basi per $V$ e sia $M_{i,j}$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B_{i}$ a $B_{j}$ . Si ha:^[3]

M_{1,3}=M_{2,3}M_{1,2}

Segue che se $M$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $B$ in $B'$ e $M'$ è la matrice di cambiamento di coordinate da $B'$ in $B$ allora vale la relazione:^[4]

MM'=I

In particolare, la matrice $M$ è invertibile e $M'$ è la sua inversa.

Cambio di matrici associate a endomorfismi

Sia $T:V\to V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ . Siano $B$ e $B'$ due basi per $V$ e $M$ la matrice di cambiamento di coordinate da $B'$ in $B$ . Sia $[T]_{B}$ la matrice di trasformazione di $T$ rispetto alla base $B$ e $[T]_{B'}$ la matrice associata a $B'$ . Vale allora la relazione:

[T]_{B'}=M^{-1}[T]_{B}M

In modo equivalente, due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.^[5]

Esempi

Nel piano cartesiano, sia $B=((1,0),(0,1))$ la base canonica e $B'=((0,1),(1,0))$ ottenuta permutando $B$ . La matrice di cambiamento di coordinate da $B$ in $B'$ è:
${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$
Nello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$ , la matrice di cambiamento fra le basi:
$B=\left(v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},v_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\right)$

$B'=\left(w_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},w_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\right)$
viene trovata risolvendo il sistema di equazioni lineari:
$v_{i}=M_{1i}w_{1}+M_{2i}w_{2}+M_{3i}w_{3}$
con 9 equazioni (pari al numero degli elementi della matrice, $i^{2}$ ) e 9 incognite $M_{ji}$ . Il risultato è la matrice:
$M={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}$
La matrice $M$ può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore:
$v={\begin{pmatrix}5\\2\\7\end{pmatrix}}=2v_{1}-v_{2}+3v_{3}$
ha coordinate rispetto a $B$ :
$[v]_{B}={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}$
Le sue coordinate rispetto a $B'$ sono quindi calcolate nel modo seguente:
$[v]_{B'}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}$

Note

^ Hoffman, Kunze, Pag. 52.
^ S. Lang, Pag. 111.
^ S. Lang, Pag. 113.
^ S. Lang, Pag. 114.
^ S. Lang, Pag. 115.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
Roggero, Cambiamenti di base.