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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di cambiamento di base o di coordinate è una matrice quadrata che codifica il cambiamento di una base di uno spazio vettoriale.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo  . Siano   e   due basi di  , e siano   i vettori che compongono la base  . Si definisce matrice di cambiamento di coordinate dalla base   alla base   l'unica matrice   le cui colonne sono le coordinate dei vettori   rispetto ai vettori della base  :[1]

 

Si ha allora:[2]

 

In particolare, la matrice   è la matrice associata alla funzione identità su   rispetto alle basi   nel dominio e   nel codominio.

Se   è il campo dei numeri reali, la matrice di cambiamento di base è utile a verificare se due basi hanno la stessa orientazione: questo accade precisamente quando il determinante della matrice di cambiamento di base che le collega è positivo.

Rappresentazione grafica nel piano cartesianoModifica

 
Fig.1.
Il vettore   ha coordinate:
  nel piano  ,   rispetto alla base   e   rispetto alla base  .
 
Fig.2.
Al vettore  , primo vettore della base  , corrisponde il vettore   che si identifica con la   colonna della matrice  .
Al vettore  , secondo vettore della base  , corrisponde il vettore   che si identifica con la   colonna della matrice  .
 
Fig.3.
Al vettore  , primo vettore della base  , corrisponde il vettore   che si identifica con la   colonna della matrice  .
Al vettore  , secondo vettore della base  , corrisponde il vettore   che si identifica con la   colonna della matrice  .

Rifacendoci alla fig.1 supponiamo di avere nel piano cartesiano il vettore   di coordinate:

 .

Siano poi   e   due coppie di vettori che nello spazio euclideo   individuano rispettivamente la base   e la base   date da:

 
 

La coppia   può rappresentare un qualunque vettore del piano cartesiano (e quindi ne rappresenta una base) trattandosi di vettori non paralleli e pertanto indipendenti; altrettanto vale per la coppia  .

Si verifica facilmente che si può ottenere il vettore   come combinazione di vettori della base   e della base   mediante le seguenti equazioni:

               
       

Pertanto, le coordinate del vettore   rispetto alle basi   e   sono date da:

 
 

Graficamente, in base   il vettore   è dato dalla somma dei vettori  ' e  ': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di   e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore   e parallela a  . Si ottengono così il vettore  ' con modulo pari a tre volte quello di   e il vettore  ' con modulo pari a   conformemente all'equazione   che può essere riscritta come:

 ' '
 '  
 '  

Analogamente, in base   il vettore   è dato dalla somma dei vettori  ' e  ': bisogna a tal proposito tracciare la retta che ha la stessa direzione di   e individuare il punto di intersezione con la retta passante per la punta del vettore   e parallela a  . Si ottengono così il vettore  ', nella fattispecie opposto in verso a  , con modulo pari a sette volte quest'ultimo e il vettore  ' con modulo pari a cinque volte   conformemente all'equazione   che può essere riscritta come:

 ' '
 '  
 '  

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base   a quelle in base   è data da:

 

Vale, a riprova, l'identità   come di seguito riportato:

 

La fig.2 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base   al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base   conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

La matrice che consente di passare dalle coordinate in base   a quelle in base   è data dalla sua inversa:

 

Vale, a riprova, l'identità   come di seguito riportato:

 

La fig.3 consente di avere una rappresentazione grafica delle colonne di tale matrice. La prima colonna fornisce i coefficienti moltiplicativi dei vettori che costituiscono la base   al fine di ottenere per somma geometrica il primo vettore della base   conformemente alla definizione data nel paragrafo introduttivo. Analogo discorso vale per la seconda colonna.

ComposizioneModifica

La matrice di cambiamento di base permette di codificare la relazione fra basi diverse attraverso la composizione di funzioni. Siano  ,   e   basi per   e sia   la matrice di cambiamento di coordinate da   a  . Si ha:[3]

 

Segue che se   è la matrice di cambiamento di coordinate da   in   e   è la matrice di cambiamento di coordinate da   in   allora vale la relazione:[4]

 

In particolare, la matrice   è invertibile e   è la sua inversa.

Cambio di matrici associate a endomorfismiModifica

Sia   un endomorfismo di uno spazio vettoriale  . Siano   e   due basi per   e   la matrice di cambiamento di coordinate da   in  . Sia   la matrice di trasformazione di   rispetto alla base   e   la matrice associata a  . Vale allora la relazione:

 

In modo equivalente, due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili.[5]

EsempiModifica

  • Nel piano cartesiano, sia   la base canonica e   ottenuta permutando  . La matrice di cambiamento di coordinate da   in   è:
     
  • Nello spazio euclideo  , la matrice di cambiamento fra le basi:
     
     
    viene trovata risolvendo il sistema di equazioni lineari:
     
    con 9 equazioni (tre per ogni  ) e 9 incognite  . Il risultato è la matrice:
     
    La matrice   può quindi essere usata per cambiare le coordinate di un vettore fissato. Ad esempio, il vettore:
     
    ha coordinate rispetto a  :
     
    Le sue coordinate rispetto a   sono quindi calcolate nel modo seguente:
     

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 52.
  2. ^ S. Lang, Pag. 111.
  3. ^ S. Lang, Pag. 113.
  4. ^ S. Lang, Pag. 114.
  5. ^ S. Lang, Pag. 115.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
  • Roggero, Cambiamenti di base.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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