Apri il menu principale

In matematica, una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui solamente i valori della diagonale principale possono essere diversi da 0.

Non si impone che i valori sulla diagonale siano diversi da zero: la matrice quadrata nulla è quindi diagonale.

Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici:

come anche la matrice identità.

Talvolta tra le matrici diagonali si considerano anche matrici rettangolari del tipo:

Definizione formaleModifica

Una matrice   di dimensione   è diagonale se:

 

Ogni matrice diagonale è anche una matrice simmetrica e una matrice triangolare, e se i suoi valori appartengono al campo   o   essa è anche una matrice normale.

Gli autovalori della matrice sono i termini posti sulla diagonale principale.

Ogni matrice diagonale è anche una matrice a scalini: il primo elemento non nullo di ogni riga si trova più a destra del primo elemento diverso da zero della riga precedente. Tutti e i soli elementi non nulli si trovano nella diagonale principale.

Matrice scalareModifica

Una matrice diagonale avente i valori sulla diagonale tutti uguali è una matrice scalare. Una tale matrice è un multiplo   della matrice identità   per uno scalare  .

Una matrice scalare a valori in un campo   rappresenta una omotetia nello spazio vettoriale  : trasforma ogni vettore moltiplicandolo per lo scalare  .

Le matrici scalari sono il centro dell'algebra di matrici: in altre parole le matrici scalari di tipo n × n sono precisamente le matrici che commutano con tutte le altre matrici dello stesso tipo.

Operazioni di matriciModifica

Le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono particolarmente semplici per le matrici diagonali. Indicando con   la matrice diagonale con i valori   posti in sequenza sulla diagonale principale (a partire dall'angolo superiore sinistro), l'addizione è la comune addizione membro a membro tra matrici, ossia:

 

La moltiplicazione tra matrici diagonali, si semplifica anch'essa ad una moltiplicazione membro a membro, ossia

 

La matrice diagonale   è invertibile se e solo se i valori  , che sono gli autovalori della matrice, sono tutti invertibili. In questo caso si ha:

 

In particolare, le matrici diagonali formano un sottoanello delle matrici dell'anello delle matrici n × n.

Moltiplicare la matrice   da sinistra per   equivale, per ogni i a moltiplicare la i-esima riga di   per   per ogni i; moltiplicare la matrice   da destra con   equivale a moltiplicare la i-esima colonna di   per   per ogni i.

Le matrici diagonali n × n quindi rappresentano trasformazioni che sugli assi di riferimento hanno l'effetto delle omotetie. La presenza di uno zero sulla diagonale principale equivale alla eliminazione della corrispondente dimensione. Si considerino ad esempio le seguenti matrici:

 

La prima esprime la riflessione rispetto al piano Oxz. La seconda esprime la proiezione sul piano Oxy seguita dalla riflessione rispetto all'asse Ox. La terza la proiezione ortogonale dello spazio sull'asse Oy seguita dalla riflessione di quest'ultimo e dalla sua omotetia per un fattore 3.

Autovettori, autovalori, determinanteModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Autovettore e autovalore e Determinante.

Gli autovalori della   sono  . I vettori unità   formano una base di autovettori. Il determinante della   è il prodotto  .

Dunque una matrice diagonale di ordine n soddisfa le n equazioni del tipo:

 

Un esempio tipico di matrice diagonale è la matrice identità del tipo:

 

in cui gli elementi sono dati dal simbolo di Kronecker:

 

ApplicazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità e Teorema spettrale.

Le matrici diagonali si incontrano in molte aree dell'algebra lineare. Data la semplicità operativa delle matrici diagonali, è sempre consigliabile ricondurre una matrice data ad una matrice diagonale e rappresentare un'applicazione lineare mediante una matrice diagonale.

Sul campo dei numeri reali o su quello dei complessi vale il teorema spettrale, secondo il quale ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria. In altre parole, per ogni matrice normale   esistono una matrice unitaria   ed una diagonale   per cui:

 

Inoltre, le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali, e le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica