Media (statistica)

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Una funzione di distribuzione con evidenziate la moda, la mediana e la media

In statistica, la media è un singolo valore numerico che descrive sinteticamente un insieme di dati. Esistono varie tipologie di media che possono essere scelte per descrivere un fenomeno: quelle più comunemente impiegate sono le tre cosiddette medie pitagoriche (aritmetica, geometrica e armonica).

Nel linguaggio ordinario, con il termine media si intende comunemente la media aritmetica.

È l'indice di posizione più utilizzato.[1]

Indice

Definizione di ChisiniModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Media Chisini.

Oscar Chisini ha formalizzato una definizione generale di media ampiamente accettata, che riflette la relatività del concetto di media rispetto al particolare fenomeno in analisi.

Dato un campione   di numerosità   e una funzione   in   variabili, la media delle   rispetto a   è definita come quell'unico numero  , se esiste, tale che sostituendolo a tutte le variabili il valore della funzione rimane inalterato:

 

Le medie comunemente impiegate (aritmetica, geometrica, armonica, di potenza) sono casi particolari ottenibili tramite questa definizione, per una funzione   opportuna[2].

Media aritmeticaModifica

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione).

Viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.

La formula della media aritmetica semplice per   elementi è:[3][4]

 

La media aritmetica ponderata (o media pesata) viene calcolata sommando i valori in analisi, ognuno moltiplicato per un coefficiente (detto anche peso) che ne definisce l'"importanza", e dividendo tutto per la somma dei pesi (quindi è una combinazione lineare convessa dei dati in analisi). Alla luce di questa definizione, la media aritmetica semplice è un caso particolare di media aritmetica pesata nella quale tutti i valori hanno peso unitario.

La formula generale per la media pesata è quindi:

 

dove   è il peso del termine  -esimo.

Si dimostra facilmente che la media aritmetica è un indice di posizione, in quanto aggiungendo o moltiplicando tutti i valori per una stessa quantità la media stessa aumenta o è moltiplicata per quella stessa quantità. Come tutti gli indici di posizione, la media aritmetica fornisce l'ordine di grandezza dei valori esistenti e permette di conoscerne la somma dei valori (moltiplicando la media per il numero   di elementi).

Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

Nonostante la media aritmetica sia spesso usata per fare riferimento alle tendenze, non fornisce un dato statistico robusto in quanto risente notevolmente dei valori anomali (outlier). Per questo si considerano spesso anche altri indici, come la mediana, che sono più robusti rispetto ai valori anomali e si fa un'analisi comparata.

EsempioModifica

Dati cinque numeri:

 

la loro media aritmetica è data da:

 

Media ponderataModifica

Per calcolare la media ponderata di una serie di dati di cui ogni elemento   proviene da una differente distribuzione di probabilità con una varianza   nota, una possibile scelta per i pesi è data da:

 

La media ponderata in questo caso è:

 

e la varianza della media ponderata è:

 

che si riduce a   quando tutti i  .

Il significato di tale scelta è che questa media pesata è lo stimatore di massima verosimiglianza della media delle distribuzioni di probabilità nell'ipotesi che esse siano indipendenti e normalmente distribuite con la stessa media.

Media geometricaModifica

La media geometrica di   termini è la radice  -esima del prodotto degli   valori:

 

Sfruttando le proprietà dei logaritmi, l'espressione della media geometrica può essere resa trasformando i prodotti in somme e le potenze in prodotti:

 

Analogamente al caso della media aritmetica, attribuendo un peso ai termini si può calcolare la media geometrica ponderata:

 

La media geometrica può essere vista anche come media aritmetico-armonica. Definendo infatti due successioni:

 
 

  e   convergono alla media geometrica di   e  .

Infatti le successioni convergono ad un limite comune. Si può infatti osservare che:

 

Lo stesso ragionamento può essere applicato sostituendo le medie aritmetica e armonica con una coppia di medie generalizzate di ordine finito ed opposto.

La media geometrica si applica a valori positivi. Ha un chiaro significato geometrico: ad esempio la media geometrica di due numeri è la lunghezza del lato di un quadrato equivalente ad un rettangolo che abbia i lati di modulo pari ai due numeri. Lo stesso vale in un numero di dimensioni superiore. La media geometrica trova impiego soprattutto dove i valori considerati vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita, come i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione.

Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media aritmetica) sono molto più influenti dei valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo per annullare la media.

EsempioModifica

Dati cinque numeri:

 

la loro media geometrica è data da:

 

Media armonicaModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Media armonica.

La media armonica di   termini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci:[5]

 

Per praticità di calcolo si può applicare la seguente formula, ottenuta tramite le proprietà di somme e prodotti:

 

Se a un insieme di dati è associato un insieme di pesi  , è possibile definire la media armonica ponderata come:

 

La media armonica semplice rappresenta un caso particolare, nel quale tutti i pesi hanno valore unitario.

La media armonica è fortemente influenzata dagli elementi di modulo minore: rispetto alla media aritmetica risente meno dell'influenza di outlier grandi, ma è influenzata notevolmente dagli outlier piccoli.

EsempioModifica

Dati cinque numeri:

 

la loro media armonica è data da:

 

Media di potenzaModifica

La media di potenza (o media generalizzata o media di Hölder o media  -esima) rappresenta una generalizzazione delle medie pitagoriche. È definita come la radice  -esima della media aritmetica delle potenze di esponente   degli   valori considerati:

 

Molte altre tipologie di media sono casi particolari della media generalizzata, per opportuni valori di  :

  • media aritmetica, per  ;
  • media geometrica, per  ;
  • media armonica, per  ;
  • media quadratica, per   (usata soprattutto in presenza di numeri negativi per eliminare i segni);
  • media cubica, per  .

Inoltre:

  •  
  •  

Ad ogni termine può essere associato un coefficiente detto peso, in genere rappresentato dalla frequenza oppure da un valore il quale descrive l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo elemento riveste nella distribuzione. Se ai dati in esame si assegna un insieme di pesi  , tali che  , è possibile definire la media pesata:

 

Media aritmetico-geometricaModifica

La media aritmetico-geometrica (AGM) di due numeri reali positivi   e   è definita come limite comune di due successioni definite come segue.

Si determinano la media aritmetica   e la media geometrica   di   e  

 
 .

Quindi si itera il procedimento, sostituendo   ad   e   a  . In questo modo si ottengono due successioni:

 
 

Le due successioni sono convergenti e hanno limite comune, detto media aritmetico-geometrica di   e  , indicata come   o talvolta come  .

La media geometrica di due numeri è sempre minore della media aritmetica, di conseguenza   è una successione crescente,   è decrescente e si ha   (le disuguaglianze sono strette se  ).

Quindi   è un numero compreso fra la media aritmetica e la media geometrica di   e  .

Inoltre, dato un numero reale  , vale la relazione

 

Esiste anche una espressione in forma integrale di  :

 

dove   rappresenta l'integrale ellittico completo di prima specie:

 

Inoltre, poiché la media aritmetico-geometrica converge piuttosto rapidamente, la formula precedente è utile anche nel calcolo degli integrali ellittici.

Il reciproco della media aritmetico-geometrica di   e   è chiamata costante di Gauss, in onore del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

 

Media integraleModifica

Una generalizzazione del concetto di media a distribuzioni continue prevede l'uso di integrali. Supponiamo di avere una funzione  , integrabile. Allora si può definire la media   come:

 

Data inoltre una funzione   tale che  , detta peso, si può definire la media integrale pesata   come:

 

Più in generale data una funzione   dove   è un insieme sul quale è definita una funzione di integrazione, si definisce la media   come:

 

Media temporaleModifica

La media temporale, spesso usata nella trattazione di segnali, è chiamata componente continua. Si tratta della media integrale calcolata in un intervallo di tempo tendente all'infinito.

 .

per:  

NoteModifica

  1. ^ Glossario Istat
  2. ^ Giorgio dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, 3ª ed., Bologna, Zanichelli, 2003, p. 127.
  3. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "arithmetic mean (average)"
  4. ^ Sheldon, p. 69.
  5. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "harmonic mean"

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica