Mediana (geometria)

In un triangolo, la mediana è un segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto.

La mediana di un parallelogramma è il segmento che congiunge i punti medi di due lati opposti.

Proprietà

Alcune proprietà della mediana:

1 - Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di uguale superficie non passano per il baricentro.

2 - Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto chiamato baricentro o centro di massa (per una dimostrazione si veda per esempio il Teorema di Ceva).

3 - Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

La terza proprietà non è immediata. In riferimento alla figura sottostante, provo che $BG=2GB'$ . Siano $D$ ed $E$ rispettivamente i punti medi dei segmenti $BG$ e $CG$ . Quindi $BD=DG$ (1) e $CE=EG$ . Applicando il Teorema di Talete al triangolo $ABC$ tagliato dalla retta passante per $B'$ e $C'$ ho che

$B'C'={\frac {1}{2}}BC$ .

Applicando il Teorema di Talete al triangolo $GBC$ tagliato dalla retta passante per $D$ ed $E$ ho che

$DE={\frac {1}{2}}BC$ .

Quindi $DEB'C'$ è un parallelogramma. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, quindi $DG=GB'$ (2). Si conclude osservando che per (1) e (2) si ha $BG=BD+DG=2DG=2GB'$ . Analogo ragionamento per le altre due mediane.

Lunghezza delle mediane

La lunghezza della mediana può essere ottenuta grazie al teorema della mediana. Usando la notazione standard per gli elementi di un triangolo e con $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ le mediane uscenti rispettivamente dai vertici $A$ , $B$ , $C$ , si ha che:

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$
$m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}$

Dimostrazione: Sia $A'$ il punto medio del lato $BC$ . Considero i triangoli $ABA'$ e $AA'C$ . Per la prima proprietà essi sono equivalenti, quindi hanno medesima area, cioè $ABA'=AA'C$ . Calcolando l'area dei due triangoli applicando la Formula di Erone (conviene la seconda forma proposta) ottengo il primo enunciato. Ragionamento analogo per gli altri due.