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Integrali elementariModifica

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota,  . In tal caso, come conseguenza delle regole di derivazione, del fatto che la derivata di una funzione costante è la funzione identicamente nulla, e del teorema di Lagrange, si ha:

 ,

se la funzione   è definita su un intervallo. Per gli integrali definiti invece si ha:

 

EsempiModifica

  •   in quanto  
  •   in quanto  

Integrazione per scomposizione o per decomposizione in sommaModifica

L'integrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare   è talvolta più semplice scrivere   e sfruttare l'uguaglianza:

 

Integrazione di funzioni razionaliModifica

Gli integrali che rientrano nella forma:

 

sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.

Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatoreModifica

Nel caso in cui il grado del numeratore   sia maggiore o uguale al grado del denominatore   si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente   e il resto  :

 

dalla quale ricaviamo

 

con   polinomio di grado inferiore al grado   del divisore  . Perciò possiamo scrivere:

 

riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.

Grado del numeratore minore del grado del denominatoreModifica

In questo caso, in generale, si può applicare la scomposizione di Hermite.

Se tra il grado del numeratore e quello del denominatore vi è una differenza unitaria si può provare a modificare opportunamente il numeratore, in modo da ottenere la derivata del denominatore.

Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2º grado:

 

In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante   (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio monico al denominatore):

Denominatore con due radici reali distinteModifica

Se   allora   ammette due radici reali distinte   e   dunque  . Esistono dunque due costanti reali   tali che:

 

  e   si determinano in base alla condizione:

 

Questa è equivalente al sistema lineare:

 

che ammette un'unica soluzione in   poiché la matrice dei coefficienti   ha determinante  .

Determinate   (risolvendo il sistema), si calcola:

  

Denominatore con due radici reali coincidentiModifica

Se   allora   ammette due radici reali coincidenti  , dunque   ed esistono due costanti reali   tali che:

 

  si determinano in base alla condizione

 

Questa è equivalente al sistema lineare:

 

che ammette un'unica soluzione   poiché il determinante della matrice dei coefficienti è

 

Determinate   si calcola:

  

Denominatore con due radici complesse coniugateModifica

Se   allora   non ammette radici reali. È sempre possibile determinare   tali che

 

  si ricavano in base alla condizione

 

Questo è equivalente al sistema lineare

 

che ammette un'unica soluzione poiché il determinante della matrice dei coefficienti è  .

Ora, per il secondo addendo, è sempre possibile ricavare   tali che  . Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano   e  :

 

che ammette soluzione poiché  .

Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:

 
 

Denominatore di grado qualunqueModifica

Per concludere segnaliamo che esistono metodi analoghi applicabili per qualunque grado del denominatore: se   è un qualsiasi denominatore, allora

  • se esso possiede tutte radici distinte,   si procede come nel primo caso qua trattato:
 .
  • se esso possiede una o più radici multiple   (supponiamo ad esempio siano le prime) di molteplicità  , si procede come nel secondo caso:
 .
  • se esso possiede due o più radici complesse coniugate semplici   (e un certo numero di radici reali), si procede come nel terzo caso:
 

L'ultimo caso, in cui il denominatore presenta radici complesse multiple, è più laborioso da risolvere (vedi Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali).

Integrazione per partiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrazione per parti.

Se   e   sono derivabili in   si ha:

 

ossia:

 .

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che   a meno di una costante si trova la formula di integrazione per parti:

 

Da cui per gli integrali definiti:

 

Integrazione per sostituzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrazione per sostituzione.
 

dove   è la funzione inversa di  , oppure nel caso degli integrali definiti

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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