Metodo degli spostamenti

Il metodo degli spostamenti è uno dei due possibili metodi di risoluzione del problema elastico-statico, assieme al metodo degli sforzi.

Partendo dalle equazioni di equilibrio, cinematiche e costitutive:

che costituiscono un sistema differenziale del secondo ordine, a 9 incognite in 9 equazioni, si può arrivare a scrivere tre equazioni scalari nelle sole incognite spostamento note come equazioni di Navier[1]. Si noti che è il tensore delle tensioni, il vettore delle forze esterne e il vettore degli spostamenti. Il sistema è del secondo ordine per cui l'ordine di continuità della soluzione è unitario. Gli spostamenti sono quindi soluzione continua come conseguenza della forma matematica del sistema e non occorre aggiungere alcuna condizione di compatibilità o congruenza.

Per arrivare alle equazioni di Navier si parte dalla prima equazione sostituendo agli sforzi le loro espressioni in termini di deformazioni attraverso il legame costitutivo, e quindi sostituendo le deformazioni stesse con le derivate degli spostamenti attraverso il legame cinematico.

Le equazioni di Navier in forma vettoriale si scrivono come:

cioè scalarmente:

Con:

  • , dove è la forza di volume del corpo per unità di massa e è la densità di massa;
  • componenti dello spostamento;
  • è la costante di Lamé, , e G è il modulo di elasticità tangenziale, , dove è il modulo di elasticità longitudinale di Young e è il coefficiente di Poisson.

NoteModifica

  1. ^ Da non confondersi con le equazioni di Navier-Stokes della fluidodinamica, che concettualmente sono analoghe a queste.

Voci correlateModifica