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In elettrotecnica e in particolare in teoria dei circuiti si definisce metodo dei nodi o più propriamente metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito. Si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, ma in caso di reti con generatori di tensione ideali si può ricorrere ad una sua variante.

Il vantaggio principale del metodo dei potenziali ai nodi è che per una rete con n nodi e l lati richiede la soluzione di solo n-1 equazioni, a differenza delle n-1 equazioni ai nodi e le l - n - 1 equazioni alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

EsempioModifica

 

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si assume come potenziale di riferimento, ora   sono le tensioni tra i nodi 1 2 3 e il nodo di riferimento.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di  ,   è la corrente passante per   e   è la conduttanza della resistenza  

 

 

 

 

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

 

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

 

riordinando il sistema per  

 

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generaleModifica

La rete ha n nodi, siano   le tensioni ai nodi.

Il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale

 

dove

  conduttanze che convergono al nodo  

  conduttanze tra il nodo   e il nodo  

  correnti dei generatori di corrente che convergono al nodo  

Metodo dei potenziali ai nodi modificatoModifica

Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione; tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di   equazioni, dove   è il numero di generatori ideali di tensione, per cui è vantaggioso fintanto che   , visto che le equazioni di Kirchhoff delle tensioni sono L-(N-1) e le equazioni dei potenziali di nodo sono (N-1).

EsempioModifica

 

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore  

 

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni   e della corrente incognita   che attraversa il generatore  . A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da   con i potenziali ai suoi capi.

 

riordinando per   e scrivendo in forma matriciale

 

e non resta che risolvere il sistema.

Voci correlateModifica

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