Misura a valori di proiettore

In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della teoria spettrale, come il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.

DefinizioneModifica

Sia   un sottoinsieme chiuso di  . Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di proiezioni ortogonali   che soddisfa le proprietà:[1]

  •   e   per qualche  .
  • Sia   una famiglia di insiemi tale che:
 
allora si ha:
 
dove il limite è in senso forte.

Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:

 

Se si considera uno spazio topologico   sul quale è definita una sigma algebra di borel  , una misura a valori di proiettore è una funzione   definita su   ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno spazio di Hilbert di dimensione finita  . In tal caso gli insiemi   utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma algebra di borel  , e si ha  .

Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert  , dove   è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

 

per quasi ogni  .

Integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettoreModifica

Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti   ed una funzione semplice:

 

dove   è la funzione indicatrice relativa all'insieme   per ogni i ed i numeri   sono disgiunti.

Si può definire l'integrale di   rispetto ad una misura a valori di proiettore   nel seguente modo:

 

Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo spazio di Banach delle funzioni   limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel   è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:

 

rispetto alla misura a valori di proiettore  :

 

Detto inoltre   il supporto di  , si dimostra che:

 

Misura associata ad un operatoreModifica

Sia   uno spazio topologico sul quale è definita una sigma algebra di borel  , sia   uno spazio di Hilbert e   una misura a valori di proiettore. Per ogni   il prodotto interno:

 

rappresenta una misura di Borel complessa. In particolare, la misura   viene detta misura spettrale associata a  .

Attraverso una misura del tipo di   si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui   non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:

 

come dominio dell'applicazione:

 

che definisce in questo modo un operatore lineare chiuso e limitato, che è l'integrale di   rispetto a  . L'insieme   è un sottospazio denso in  , ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione   può essere vista come il limite di una successione   di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di  .

Sia   una funzione definita sul supporto di   tale che sia inoltre limitata e misurabile rispetto alla sigma algebra di Borel. Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico operatore:

 

che soddisfa la relazione:

 

dove   denota l'integrazione rispetto alla misura  .

Decomposizione spettrale di operatori normali e autoaggiuntiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore normale, Operatore autoaggiunto e Diagonalizzabilità.

Sia   un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert  . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore   tale per cui:

 

dove   è lo spettro di  . Si dice che   è la misura a valori di proiettore associata ad  .

In particolare, se   è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

 

definita sullo spettro   di  . Tale misura può essere univocamente associata ad   nel seguente modo:

 

per ogni funzione misurabile limitata  , e in tal caso si ha:

 

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di  .[2]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale)   a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare   tramite una misura a valori di proiettore limitata   allora   è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad  . Ogni operatore limitato autoaggiunto   può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata  .

Operatori autoaggiunti non limitatiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Cayley.

Si consideri un operatore autoaggiunto   non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley   associata ad  :

 

è possibile definire, a partire da  , una misura a valori di proiettore   nel modo seguente:

 

L'insieme   è un borelliano contenuto nello spettro (reale)   di  , e   è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su  .

Si dimostra che se la funzione identità, definita su  , è di classe   rispetto alla misura  , allora   definisce una misura a valori di proiettore su  .

In particolare, è possibile scrivere:

 

Anche nel caso di   non limitato la corrispondenza tra   ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

Proiezioni e spettro di un operatoreModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica) e Spettro essenziale.

Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro   di un operatore autoaggiunto  . In primo luogo si dimostra che un numero   appartiene a   se e solo se per ogni   è soddisfatta la seguente condizione:[3]

 

Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:

  • Lo spettro essenziale di   è l'insieme   dei numeri   tali per cui per ogni   il rango di   ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente,   appartiene a   se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.
  • Si definisce spettro discreto di   l'insieme   dei numeri   tali per cui per ogni   il rango di   ha dimensione finita. In modo equivalente,   appartiene a   se e solo se è un punto isolato di   ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

Estensioni delle misure a valori di proiettoreModifica

Se   è una misura a valori di proiettore su  , allora la mappa:

 

estende a mappa lineare su uno spazio vettoriale di funzioni gradino su  .

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 235.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 234.
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 236.

BibliografiaModifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
  • (EN) G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, [1], American Mathematical Society, 2009.
  • (EN) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

Voci correlateModifica

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