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Un mollificatore a supporto contenuto nell'intervallo [-1,1]

In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.

Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.

DefinizioneModifica

Un mollificatore è una funzione   che soddisfa le seguenti proprietà:

  •  
  •  
  •  
  •  

dove con   si intende il supporto di  , cioè la chiusura dell'insieme di punti dove   non si annulla, e   è la palla centrata nell'origine di raggio  .[1]

Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:

 
 

dove   è una costante che normalizza l'integrale a 1.

Proprietà e utilizziModifica

 
In alto: un mollificatore. In basso, una funzione irregolare in rosso e la sua regolarizzata in blu

In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.

I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es.   è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:

 

per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di   per punti vicini a  , in quanto per definizione di   l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in   di raggio   e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a  .

La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:

  • Se   è continua allora   converge a   uniformemente sui compatti.
  • Se  , con  , allora   converge a   in norma  .

Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in   che nello spazio di Sobolev   per  .

NoteModifica

  1. ^ H. Brezis, p. 111.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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