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Momento meccanico

attitudine di una forza a imprimere la rotazione ad un oggetto
Momento meccanico e momento angolare.

Il momento meccanico, indicato con o, in ambito anglosassone, con (dall'inglese torque), esprime l'attitudine di una forza a imprimere una rotazione a un corpo rigido attorno a un asse quando questa non è applicata al suo centro di massa, altrimenti si avrebbe moto traslatorio. Costituisce quindi il momento della forza.

Il momento meccanico è uno pseudovettore, non uno scalare come l'energia o il lavoro. Per questo motivo l'unità di misura del momento meccanico nel SI è N·m (newton per metro), non il joule, anche se le due unità hanno le stesse dimensioni fisiche.[1]

Una grandezza correlata al momento meccanico è il momento meccanico specifico , il quale rappresenta il momento meccanico per unità di massa, ovvero il momento dell'accelerazione.

L'analisi dei momenti meccanici determina la condizione di equilibrio dei corpi estesi e serve allo studio dei moti rotazionali, infatti compaiono nella seconda equazione di Eulero.

DefinizioneModifica

 
Il momento meccanico M rispetto al polo O

Il momento meccanico[2] rispetto a un determinato punto  , detto polo o centro di riduzione, è definito in meccanica newtoniana come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione, rispetto al polo stesso, e la forza:[3]

 

Il modulo di   è quindi definito da

 

Il vettore   è perpendicolare al piano definito da   e da   e il verso, come espresso dalla regola della mano destra, è quello di un osservatore che vede ruotare   in senso antiorario. La grandezza  , distanza dell'asse di rotazione dalla retta su cui giace  , è detta braccio   della forza  .

Se   e   sono ortogonali tra loro, il braccio è esattamente pari al modulo di   e il modulo del momento è massimo (vedi leva). Il momento può essere nullo se la forza o il braccio sono nulli, oppure se   è parallela a  .

Se il sistema è composto di più componenti puntiformi, il momento meccanico totale è la somma dei singoli momenti meccanici, ognuno dovuto alla forza sul singolo componente e al relativo braccio:

 

Nei sistemi continui si estende in modo naturale la definizione introducendo la densità   e il campo di accelerazioni  :

 

Momento meccanico assialeModifica

Si definisce momento meccanico assiale di una forza rispetto a un asse   passante per un punto  , la componente ortogonale del momento polare su un particolare asse  , detto asse centrale:

 

dove   è un versore, vettore di lunghezza unitaria, che identifica l'asse. Il modulo sarà:

 

dove   è l'angolo formato dal vettore momento polare   con l'asse  . In pratica è la proiezione ortogonale del momento polare sull'asse  . Per questo il momento assiale è nullo se l'angolo   e massimo quando l'asse   coincide con l'asse di  , in tal caso infatti:  .

Teorema di VarignonModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Varignon.

Il teorema di Varignon afferma che il momento risultante dalla somma dei momenti meccanici applicati in uno stesso punto, o equivalentemente la somma dei momenti assiali posti alla stessa distanza da un asse di riferimento, corrisponde al momento meccanico della risultante:

 

Ciò risulta di particolare utilità nelle equazioni di Eulero.

Legame con il momento angolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali della dinamica § Seconda equazione cardinale.

Derivando rispetto al tempo il momento angolare   rispetto a un polo   di un sistema di   punti materiali si ottiene:

 

dove   è la quantità di moto, e   è la velocità del punto di applicazione, ma poiché:

 

segue che:

 

Nel caso in cui il polo   sia immobile, il momento meccanico è pari alla variazione del momento angolare attorno allo stesso centro o asse del primo:

 

Legame con il moto rotatorioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore di inerzia.

Prendendo la relazione dimostrata nel precedente paragrafo, nel caso di un corpo rigido rotante, si può osservare che   rappresenta la velocità tangenziale del corpo rotante, pertanto si ha che:

 

in questo caso il momento angolare è correlato al moto rotatorio. Infatti, il momento angolare risulta proporzionale rispetto alla velocità angolare   attraverso il tensore d'inerzia  :

 

Sostituendo si ottiene:

 

dove   è l'accelerazione angolare. Il momento angolare risulta proporzionale anche rispetto alla velocità areolare   attraverso la massa  :

 

Sostituendo si ottiene:

 

dove   è l'accelerazione areolare.

L'equazione che lega il momento meccanico con la velocità angolare può essere riscritta attraverso la relazione di Poisson; infatti, il vettoriale del prodotto triplo può essere convertito in prodotto ordinario servendosi della matrice antisimmetrica della velocità angolare, in analogia per esempio con la definizione del tensore di Kong, definita per esempio in uno spazio tridimensionale come:

 

Risulta quindi che:

 

Si nota allora che il momento meccanico ha in generale due componenti, una a velocità angolare nulla, l'altra ad accelerazione angolare nulla:

 

Come esempio notevole si consideri un corpo è vincolato a un asse fisso baricentrico in un riferimento in cui è inclinato come l'asse  , come per esempio una manovella:

 

  risulta in generale:

 

Momento di tensioneModifica

In meccanica dei solidi un momento meccanico si traduce in una tensione a seconda che esso sia flettente, ovvero orientato parallelamente alla sezione, o torcente, se orientato perpendicolarmente alla sezione.

In una struttura planare su cui agiscano solo forze complanari ci sono solo momenti flettenti.

Lavoro ed energia potenziale rotazionaleModifica

Lavoro rotazionaleModifica

Il lavoro rotazionale, compiuto dal momento meccanico risulta essere:

 

Come nel caso traslazionale, è possibile quindi per un momento compiere anche lavoro negativo, se si oppone allo spostamento angolare reale, o nullo, nel caso sia normale allo spostamento angolare reale. Si notano qui le analogie con il lavoro traslazionale, che permettono l'unificazione lagrangiana di forza generalizzata.[non chiaro]

Energia potenziale rotazionaleModifica

Un momento meccanico, analogamente a una forza, può essere conservativo e ammettere quindi un'energia potenziale in base al lemma di Poincaré:

  dove  

In tal caso essa risulta per un sistema a un grado di libertà angolare:

 

Il valore dell'energia potenziale in   è definito arbitrariamente dal punto di vista matematico; si impone solitamente una condizione al contorno di Dirichlet, a cui non è applicabile la condizione di località dato che in generale l'energia potenziale rotazionale risulta sempre periodica nelle sue variabili angolari con periodo massimo  .

Infine nel caso più generale coi tre gradi di libertà rotazionali:

 

Potenza rotazionaleModifica

Nel caso in cui il polo   sia immobile, la potenza rotazionale, posseduta dal momento meccanico risulta essere:

 

dove   è la velocità angolare del punto.

Coppia di forzeModifica

 
Il momento meccanico puro causato dalla coppia di forze   e   causa una variazione del momento angolare   nella direzione 55. Questo induce nella cima una precessione.

Un problema molto comune è misurare la forza che viene esplicata da qualcosa che gira. Il modo più naturale è fissare una sbarra al rotore e misurare la forza che questa esercita ortogonalmente a una certa distanza dal fulcro. Si potrebbe a questo punto definire, per convenzione, la "forza di un rotore" come quella misurata alla distanza, ad esempio, di 1 metro dal fulcro. In tal modo sarebbe possibile confrontare le forze di rotori diversi.

Per le leggi che regolano le leve è tuttavia evidente che il modulo del prodotto vettoriale fra la forza e la distanza dal fulcro, detta braccio della forza, è una costante. Se si misura la forza esercitata, ortogonalmente alla sbarra, alla distanza di mezzo metro si trova che essa è pari al doppio di quella misurata a 1 metro; a 10 cm è 10 volte più grande; a 2 m la metà e così via. È quindi, in sintesi, rilevante per un corpo rigido solo il prodotto: braccio × forza, e non i singoli valori delle due componenti.

La coppia è spesso usata nell'industria meccanica per quantificare la potenza generata da un motore secondo la formula:

 

dove:

  •   è la potenza del motore espressa in W (watt) al numero di giri desiderato
  •   è la coppia generata espressa in N·m (newton × metri)
  •   è la velocità angolare espressa in radianti al secondo a cui si riferisce la potenza  , dove  , con   frequenza di rotazione, misurata in giri al secondo

Per misurare la coppia viene utilizzato un estensimetro a ponte intero.

NoteModifica

  1. ^ COPPIA MOTRICE E POTENZA, su spaziomotori.it. URL consultato il 31 gennaio 2013.
  2. ^ detto anche momento meccanico polare.
  3. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "moment of a force"

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