Monoide
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Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.
DefinizioneModifica
Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria * che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa l'elemento a*b, rispettando i seguenti assiomi:
Chiusura
- Per ogni a, b appartenenti a M, l'elemento a*b appartiene ancora a M, vale a dire che M è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma)
Associatività
- Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale (ab)c = a(bc) (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo)
Elemento neutro
- Esiste in un elemento neutro tale che per ogni in .
ProprietàModifica
Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se , sono entrambi elementi neutri, si ha , dove la prima eguaglianza segue dal fatto che è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è .
Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.
Monoidi e gruppiModifica
Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.
Un elemento del monoide si dice invertibile se esiste in un suo inverso, cioè un elemento in tale che . Se esiste, questo elemento è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di . Infatti se , sono entrambi inversi di , si ha , dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che è un inverso di , dalla proprietà associativa, dal fatto che è un inverso di , e ancora dalla definizione di elemento neutro.
Se ogni elemento di un monoide è invertibile, allora è un gruppo.
Più in generale, sia un monoide qualsiasi, e sia l'insieme degli elementi invertibili di . Intanto, non è vuoto, perché si vede subito che contiene . E poi si può vedere che è un gruppo rispetto alla stessa operazione di . Il gruppo viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide .
EsempiModifica
L'insieme dei numeri interi Z con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.
Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione . L'elemento neutro è dato dalla funzione identità . Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.
Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine n su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.
Voci correlateModifica
- Informatica: Linguaggi formali
BibliografiaModifica
- Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6
- Michael Artin (1997): Algebra, Bollati Boringhieri, ISBN 8833955869