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Monoide

struttura algebrica con un'operazione binaria associativa e un elemento neutro

Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

DefinizioneModifica

Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa l'elemento a*b, rispettando i seguenti assiomi:

Chiusura

Per ogni a, b appartenenti a M, l'elemento a*b appartiene ancora a M, vale a dire che M è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma)

Associatività

Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale (ab)c = a(bc) (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo)

Elemento neutro

Esiste in   un elemento neutro   tale che   per ogni   in  .

ProprietàModifica

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se  ,   sono entrambi elementi neutri, si ha  , dove la prima eguaglianza segue dal fatto che   è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è  .

Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.

Monoidi e gruppiModifica

Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.

Un elemento   del monoide   si dice invertibile se esiste in   un suo inverso, cioè un elemento   in   tale che  . Se esiste, questo elemento   è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di  . Infatti se  ,   sono entrambi inversi di  , si ha  , dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che   è un inverso di  , dalla proprietà associativa, dal fatto che   è un inverso di  , e ancora dalla definizione di elemento neutro.

Se ogni elemento di un monoide   è invertibile, allora   è un gruppo.

Più in generale, sia   un monoide qualsiasi, e sia   l'insieme degli elementi invertibili di  . Intanto,   non è vuoto, perché si vede subito che contiene  . E poi si può vedere che   è un gruppo rispetto alla stessa operazione di  . Il gruppo   viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide  .

EsempiModifica

L'insieme dei numeri interi Z con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.

Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni   definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione  . L'elemento neutro è dato dalla funzione identità  . Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.

Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine n su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.

Voci correlateModifica

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