Calcolo letterale
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
Prodotti notevoli
Divisione dei polinomi
Divisibilità dei polinomi
Teorema di Ruffini
Regola di Ruffini
Divisibilità di binomi notevoli

In matematica un monomio è un'espressione algebrica costituita da un coefficiente e una parte letterale dove tra le lettere compaiono moltiplicazioni e elevamenti a potenza aventi esponente naturale[1]. Questi sono tre esempi:

Nell'ultimo esempio, l'esponente n è un numero naturale non specificato. In alcuni casi si ammette la presenza nel monomio di esponenti negativi e si parla di monomi frazionari (o fratti): in questo caso, il monomio è in realtà una frazione algebrica[2]:

Talvolta si ammette anche l'operazione di estrazione di radice.[3] I monomi con esponenti esclusivamente interi positivi sono detti interi e in questa voce ci limitiamo a considerare questo tipo di monomi.

In un monomio non compaiono somme o sottrazioni; un'espressione del tipo

dove compaiono anche delle somme algebriche è invece detta polinomio: un polinomio è quindi una somma algebrica di monomi[4].

Coefficiente e parte letteraleModifica

Ogni monomio è diviso in due parti:

  • Il coefficiente del monomio è il termine con valore numerico esplicito, solitamente si trova all'inizio del monomio e quando questo è   viene solitamente sottinteso.
  • La parte letterale del monomio è costituita dall'insieme di lettere, spesso scritte con lettere minuscole[5].

Ad esempio il monomio

 

ha coefficiente 6 e parte letterale  . I monomi

 

hanno coefficiente   e   rispettivamente.

In alcuni contesti il coefficiente può contenere delle costanti non numeriche, indicate con delle lettere. Ad esempio l'espressione

 

può indicare un monomio avente coefficiente   e parte letterale  . Di solito si intende distinguere fra quelle lettere come   che rappresentano delle costanti e altre lettere come   che rappresentano le variabili.

Un monomio senza parte letterale è detto costante.

Il grado di un monomioModifica

  • Il grado complessivo di un monomio è la somma algebrica degli esponenti della parte letterale.

Ad esempio, il monomio

 

ha grado 2. Le variabili senza esponente hanno come di consueto esponente 1 anche se non indicato esplicitamente: quindi

 

ha grado 1+3 = 4: le variabili   e   hanno infatti esponente 1 e 3 rispettivamente.

  • Il grado di un monomio rispetto a una lettera è invece dato dall'esponente che possiede quella lettera. Per esempio, il monomio   possiede grado   rispetto alla lettera  , grado   rispetto alla lettera   e grado   rispetto alla lettera  .[6]

I monomi costanti sono precisamente quelli con grado zero.

Monomi similiModifica

I monomi ridotti in forma normale aventi la stessa parte letterale, con gli stessi esponenti, si dicono monomi simili[7]. Ad esempio

  sono monomi simili
  sono monomi simili

Tra questi, due monomi aventi il coefficiente con valore assoluto uguale e segno opposto si dicono opposti, mentre due monomi aventi lo stesso coefficiente si diranno appunto uguali.

Lo 0 viene chiamato monomio nullo. Una somma algebrica di monomi viene chiamata polinomio.

Operazioni fra monomiModifica

Addizione algebricaModifica

La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile ad essi, in cui il coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli monomi. Quando i monomi non sono simili la somma non può essere applicata e si lascia l'espressione inalterata. Quando si ha un'espressione con più monomi si deve sempre cercare di sommare i termini simili fino ad arrivare a una forma non più modificabile[8].

Addizione algebrica di monomi similiModifica

L'addizione algebrica tra monomi simili è un'operazione interna, ossia ha come risultato un monomio simile a quelli dati il cui coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti. Operativamente, si raccoglie a fattor comune la parte letterale, applicando all'inverso la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e poi si esegue la somma dei coefficienti numerici. Dei semplici esempi sono dati dalle seguenti somme:

 
 
 

Addizione algebrica di monomi non simili tra loroModifica

Quando i monomi non sono simili l'addizione algebrica non porta semplificazioni, l'espressione rimane inalterata ed il risultato non è più un monomio, ma un polinomio:

 

Addizione algebrica di monomi simili e non similiModifica

La somma algebrica viene fatta solo tra monomi simili lasciando inalterati gli altri:

 

questo procedimento viene anche detto riduzione dei termini simili.

ProdottoModifica

Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei singoli monomi e come parte letterale il prodotto delle loro parti letterali. Ogni fattore letterale ha l'esponente uguale alla somma degli esponenti che esso ha nei singoli monomi[9]. Si ha pertanto che la moltiplicazione tra monomi è possibile anche quando i monomi non sono simili.

Considerando ad esempio il prodotto tra   e  , il prodotto dei coefficienti è:

 

mentre quello delle parti letterali è:

 

quindi il prodotto dei singoli monomi risulta essere

 

Altri esempi di moltiplicazione tra monomi:

 
 
 

Elevamento a potenzaModifica

La potenza di un monomio è il monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza di ciascun fattore letterale del monomio[10]. Considerando il monomio   calcolare il suo cubo vuol dire moltiplicare 3 volte per se stesso il monomio:

 

che per le regole del prodotto viste sopra diventa:

 

Altre potenze di monomi sono:

 
 

DivisioneModifica

In alcuni casi molto particolari, anche il quoziente di due monomi è un monomio:

EsempioModifica

 

Questo accade però solo in casi molto particolari, cioè quando il grado del monomio dividendo è maggiore o uguale del monomio divisore e quando le lettere che compaiono nel divisore si trovano, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. In generale, un monomio che contiene delle lettere non ha un inverso (rispetto alla moltiplicazione). Ad esempio, dato il monomio

 

non esiste nessun altro monomio che, moltiplicato per  , dia come risultato 1. Questo perché la moltiplicazione fra monomi può solo incrementare il numero di lettere coinvolte, e non può eliminarle.

La divisione inoltre non è possibile quando il divisore è  , ossia il monomio nullo.

Minimo comune multiploModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Minimo comune multiplo.

Minimo comune multiplo tra due o più monomi è definito come quel monomio di grado minimo che è divisibile per i monomi dati[11]. I minimi comuni multipli tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Per determinare la parte letterale dell'm.c.m. tra due monomi si prendono tutte le lettere, comuni e non comuni, dei monomi con il loro massimo esponente.

Per quanto riguarda il coefficiente, per convenzione, si utilizza l'm.c.m. tra i coefficienti quando è possibile calcolarlo, altrimenti 1.

Esempio:

 
 

Massimo comune divisoreModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Massimo comune divisore.

Massimo comune divisore tra due monomi è definito come quel monomio di grado massimo che divide i due dati. I massimi comuni divisori tra due monomi sono infiniti, essi infatti possono avere qualsiasi coefficiente.

Altre definizioniModifica

I monomi descritti sopra sono tutti in forma normale, cioè espressi come un unico coefficiente numerico che moltiplica delle lettere, ciascuna delle quali compare una volta sola con un certo esponente. Lo stesso monomio può però essere espresso anche in altre forme, posizionando in modo diverso i suoi elementi. Ad esempio, le scritture

 

rappresentano tutte lo stesso monomio, scritto in modi diversi. Solo la prima di esse rappresenta il monomio in forma normale.

NoteModifica

  1. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.294
  2. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.294
  3. ^ Enciclopedia Treccani, su treccani.it.
  4. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.326
  5. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.294
  6. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.295
  7. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.295
  8. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.296
  9. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.297
  10. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.297
  11. ^ Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5. p.301

BibliografiaModifica

  • Bruno Bottiroli, Antonio Cantone, Giuliana Pionetti, Corso di Matematica-Algebra 1, Ghisetti e Corvi Editori, 2007, ISBN 978-88-538-0410-5.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica