Moto di puro rotolamento

In fisica classica il moto di puro rotolamento è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito.

Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.

La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera).

DescrizioneModifica

Indichiamo con   il vettore che ha origine nel centro di massa del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare   è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione:

 

Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che:

 

Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi

 

cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche:

 

avendo indicato con   la accelerazione del centro di massa e con   la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari:

Moto di puro rotolamento con sola forza applicata al centro di massaModifica

 
Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.

Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio   e massa   come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la   parallela al piano applicata sul centro di massa;   la forza di attrito statico; la forza peso  , la reazione vincolare  . La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse):

 

Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( prima equazione cardinale) è:

 

Per quanto riguarda il momento angolare ( seconda equazione cardinale), definendo con   il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo:

 

Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento:

 

L'unica incognita diventa la forza di attrito   che vale:

 

Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che:

 

Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo:

 

Notare che se venisse applicata una forza maggiore di  , il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto:

 

Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio.

La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie.

Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali,   sarebbe la forza frenante massima applicabile.

Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asseModifica

 
Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento   applicato all'asse di rotazione.

Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore  . Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente.

La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha:

 

Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta:

 

Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento):

 

Da cui si ricava che   vale:

 

la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che:

 

e quindi:

 

Se il momento applicato è maggiore di   il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale.

Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa.

Moto di puro rotolamento con un momento ed un forza applicataModifica

 
Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento   che agisce sul suo asse.

Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione  , sul corpo agisce un momento motore  . La forza peso ha una componente tangenziale al piano   e una normale  . La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano:

 

Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è:

 

Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta:

 

Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che:

 

Imponendo la condizione che:

 

Si ha che per avere moto di puro rotolamento:

 

Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo  ) cioè se si ha che  .

In discesa   è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa   la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura.

BibliografiaModifica

  • P. Mazzoldi, N. Nigro e C. Voci, FIsica Volume 1, 2ª ed., Napoli, EdiSes Wiley, 2003, ISBN 88-7959-137-1.


  Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica