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In matematica, la norma operatoriale di un operatore lineare è la norma definita sullo spazio degli operatori limitati lineari tra spazi vettoriali normati.

Indice

DefinizioneModifica

Considerando due spazi normati   e   sul medesimo campo   o  , una trasformazione lineare   è continua se e solo se esiste un numero reale   tale per cui:

 

Intuitivamente, l'operatore   non "allunga" mai i vettori su cui agisce di un fattore maggiore di  . In questo modo, l'immagine di un insieme limitato è limitata. Da questo fatto segue che gli operatori lineari continui sono anche detti operatori limitati.

La norma operatoriale è definita considerando il più piccolo   tale per cui la precedente uguaglianza vale per ogni  :

 

dove il minimo esiste sempre grazie al fatto che tale insieme è chiuso, limitato e non vuoto.

Si può mostrare che le seguenti definizioni sono equivalenti a quella data:

 

ProprietàModifica

La norma operatoriale è una norma definita sullo spazio degli operatori limitati da   in  , che significa:

  •   e   se e solo se  .
  • Si verifica:
 
dove   è uno scalare.
  • Valgono le disuguaglianze:
 

Se  ,   e   sono spazi normati sullo stesso campo e  ,   sono operatori limitati, allora:

 

Per gli operatori limitati su   questo implica che la moltiplicazione tra operatori è continua.

Dalla definizione segue inoltre che se una successione di operatori converge nella norma operatoriale allora converge uniformemente su insiemi limitati.

Operatori in spazi di HilbertModifica

Sia   uno spazio di Hilbert reale e   un operatore lineare limitato. Allora si ha:

 

e inoltre:

 

dove   è l'operatore aggiunto di   (che in uno spazio euclideo con il prodotto scalare standard è rappresentato dalla matrice trasposta coniugata di  ).

In generale, il raggio spettrale   di   è limitato dalla norma operatoriale di  :

 

Quando una matrice   è normale la sua forma canonica di Jordan è diagonale, in accordo con il teorema spettrale. In tal caso è semplice vedere che:

 

Il teorema spettrale può essere esteso a operatori normali in generale, e la precedente uguaglianza vale per ogni operatore normale limitato  . Lo spazio degli operatori limitati su   con la topologia indotta dalla norma operatoriale non è separabile. L'insieme degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert, insieme con la norma operatoriale e l'operazione di aggiuntezza, produce una C*-algebra.

BibliografiaModifica

  • John B. Conway, A course in functional analysis, New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5.

Voci correlateModifica