Notazione multi-indice

La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici. Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.

Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero, .

RegoleModifica

Si definiscono le seguenti regole, per  :

 
 
 
 
 
 
 , dove  . Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione  

Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:

Sviluppo multinomialeModifica

 

Formula di LeibnizModifica

Se u, v sono differenziabili, allora

 

Serie di TaylorModifica

Se f è analitica, allora

 

Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come

 

Integrazione parzialeModifica

Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato   si ha che

 

Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.

TeoremaModifica

  • Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e   allora
 
  • Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...
 .

Se supponiamo  ,  , allora abbiamo che

     

in quanto per ogni r=1,..,n la funzione   dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale   si riduce alla derivazione ordinaria  . Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che   si annulla se   per qualche r=1,..,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione,   nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,..,n viene   e dunque la tesi del teorema.  

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