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In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come , dal tedesco Kern. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Indice

DefinizioneModifica

OmomorfismiModifica

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi   è il sottoinsieme di   costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di  :

 

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

Il nucleo è sempre un sottogruppo di  ; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di  . Nel caso in cui   sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e   sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo   è un sottospazio vettoriale di   (oltre ad esserne un sottogruppo).

MatriciModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Sia   una matrice di tipo   con elementi in un campo  . Il nucleo di   è l'insieme dei vettori   in   tali che:[1]

 

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

 
 

ed il nucleo di   così definito è il nucleo di  . In modo equivalente:

 

Il nucleo di   è un sottospazio vettoriale di  , la cui dimensione è chiamata la nullità di  .

ProprietàModifica

GruppiModifica

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi   è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

 

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di  .

D'altra parte, ogni sottogruppo normale   di un gruppo   è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

 

IniettivitàModifica

Sia   un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione   è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.[2] L'ipotesi di linearità per   è essenziale: poiché  , l'iniettività di   implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di   consista del solo elemento neutro 0, allora se:

 

per la linearità si ha:

 

e quindi   per ipotesi. In altre parole  , e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rangoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del rango.

Sia   un'applicazione fra spazi vettoriali  . Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di   sono collegate tramite la seguente uguaglianza:[3]

 

La nullità di una matrice   può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

 

Nell'equazione,   è il numero di colonne di  ,   è l'indice di nullità e   è il rango di  . Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemiModifica

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme   all'insieme   è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in  .

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

 

e da:

 

L'insieme quoziente  , detto anche coimmagine di  , è naturalmente isomorfo all'immagine di  . La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in  . Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

EsempiModifica

Data la matrice:

 

dove   è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad   è l'insieme di vettori del tipo:

 

come si vede facendo il prodotto matriciale tra   e il vettore colonna  .

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 71
  2. ^ S. Lang, Pag. 94
  3. ^ S. Lang, Pag. 92

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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