Apri il menu principale

Un numero iperreale è un elemento cardine nell'analisi non standard, introdotta dalle ricerche di Abraham Robinson dell'università Yale nel 1966 sul suo libro Non-Standard Analysis.

Indice

DefinizioneModifica

Un numero iperreale è un numero appartenente all'insieme  , una struttura matematica che può essere costruita a partire da  , ma che risulta più ampia. Esso viene definito a partire dal numero infinitesimo.

Secondo Robinson un infinitesimo è un numero ε minore in valore assoluto di qualsiasi   per ogni  . A differenza di Leibniz, egli attribuisce a tali ε la dignità di numeri:

la categoria dei numeri iperreali è l'insieme dei reali, degli infinitesimi, dei reciproci degli infinitesimi (numeri infiniti) e di altri numeri infinitamente vicini ai reali

Un numero iperreale non infinito è, pertanto, della forma:

a+ε

dove a è un numero reale ed ε un infinitesimo. Di conseguenza, attorno ad un numero reale, esiste un intorno di numeri iperreali a distanza infinitesima da esso, i quali costituiscono l'insieme degli a + ε: tale insieme viene detto monade e viene indicato con μ(a).

Si dimostra che ε è minore di ogni numero reale positivo.

In maniera più formale la monade di un numero a viene definita come la classe di equivalenza della relazione   se   è un numero infinitesimo o 0.

Non continuità della retta degli iperrealiModifica

La retta dei reali è immersa nella retta degli iperreali. Per quest'ultima non vale l'assioma di Archimede, quindi non è detto che, dati due numeri a e b, con 0 < a < b, esista un intero N per cui vale la relazione Na > b. Come conseguenza, non sempre esiste l'elemento di separazione tra due semirette.

Dimostrazione

Supponiamo infatti di dividere la retta degli iperreali in due semirette: una parte r che contiene tutti gli iperreali negativi, lo zero e tutti gli iperreali infinitesimi. L'altra parte r' contiene tutti gli iperreali non infinitesimi positivi. Per assurdo, supponiamo che σ sia l'elemento di separazione: esso sarà maggiore di zero e maggiore di tutti gli elementi di r. Se σ appartenesse ad r, sarebbe infinitesimo. Ma, per la definizione di infinitesimo, anche 2σ e Nσ, con N grande a piacere, lo sarebbero, ed apparterrebbero ad r. Tuttavia Nσ>σ e dunque non può essere σ l'elemento di separazione. Se supponiamo invece che σ appartenga ad r' , allora non è infinitesimo, e dunque nemmeno σ/2 o σ/N, con N grande a piacere. Ma simmetricamente σ/N< σ, e ciò non è possibile. Quindi non esiste un elemento di separazione tra r' ed r.

Costruzione dell'insieme degli iperrealiModifica

In questo modo si è in grado di costruire un insieme iperreale più ampio rispetto a quello reale. Si indichi l'insieme dei reali, dotato delle operazioni di somma e prodotto ed ordinato usualmente, nel modo seguente:

 

L'insieme degli iperreali sarà pertanto indicato come:

 

Sia ora   l'insieme dei numeri naturali e   l'insieme delle successioni dei numeri reali, di modo che ciascun suo elemento abbia la forma:

  con  

Le operazioni di somma e moltiplicazione sono pertanto definite da:

 
 

Ora, se r ed s sono due elementi di  , allora si dirà che   se e solo se  , dove   è un ultrafiltro sui naturali.

Questa relazione   sarà di equivalenza su  . A questo punto è possibile partizionare tale insieme in classi di equivalenza. L'insieme di queste classi è indicato con   e la classe contenente una particolare successione s, sarà indicata da [s] o s. Gli elementi di   sono detti numeri iperreali.

Operazioni e relazioniModifica

A questo punto è possibile definire operazioni e relazioni sugli iperreali:

  •   cioè  
  •   cioè  
  •   se e solo se  
  •   se e solo se   o  

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica