Numero p-adico

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Il sistema dei numeri -adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo , il sistema dei numeri -adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri -adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei -adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale.

Più concretamente per un dato numero primo , il campo dei numeri -adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri -adici per ogni . Il campo possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri -adici sono conosciuti come numeri -adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

MotivazioniModifica

L'introduzione più semplice ai numeri  -adici è considerare i numeri  -adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero  , dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre " ", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero   (che in formato  -adico è  ), otteniamo:

 

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un  . Per i numeri  -adici si ha quindi che  . Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono  . Gli avvezzi all'informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di   a sinistra; nei  -adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra   per i numeri  -adici.

CostruzioneModifica

Approccio analiticoModifica

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di   non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:

 

dove   e   è scritto in forma irriducibile, cioè tale che  , con   e   interi tali che   e  .

Questa norma induce di conseguenza una distanza e quindi si può quindi parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri  -adici   vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di   con la norma  -adica. I numeri  -adici di norma minore o uguale a   sono detti interi  -adici e l'insieme di tutti gli interi  -adici, in genere indicato con  , forma un sottoanello di  

Viene definita anche la valutazione  -adica come la valutazione:

 

Approccio algebricoModifica

L'approccio algebrico consiste nel considerare   come il campo delle frazioni di  , che a sua volta è il limite proiettivo di  .

La caratteristica di   è   ed infatti il suo sottocampo fondamentale è  , e che   si vede immediatamente dalla costruzione analitica.

RappresentazioneModifica

Un modo comune di rappresentare un numero  -adico   è il seguente:

 

con  , dove   non è altro che la valutazione  -adica   e   per ogni  .

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma  -adica

 

A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione:   dove gli   sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo  , i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

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