Numero di Carol

In teoria dei numeri, un numero di Carol è un numero intero che può essere espresso nella forma 4ⁿ - 2^{{n + 1}} - 1 (un'espressione equivalente a questa è (2ⁿ - 1)² - 2). I primi dieci numeri di Carol sono: −1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119 e 1046527.^[1] Il primo a studiare i numeri di Carol è stato il matematico Cletus Emmanuel, che li ha chiamati così in onore dell'amico Carol G. Kirnon.^[2]^[3]. Per n>2, la rappresentazione in base 2 del n-esimo numero di Carol è costituita da n-2 cifre 1 consecutive, uno 0 e n+1 altre cifre consecutive, ovvero

$\sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.$

La differenza tra l'n-simo numero di Mersenne e il 2n-simo numero di Carol è 2ⁿ⁺¹. Questo dà un'altra espressione per generare numeri di Carol: (2²ⁿ-1)-2ⁿ⁺¹. La differenza tra l'n-simo numero di Kynea e l'n-simo numero di Carol è 2ⁿ⁺². Tutti gli (3n-1)-esimi numeri di Carol sono multipli di 7. I più piccoli numeri di Carol ad essere anche numeri primi sono 7, 47, 223, 3967 e 16127.^[4]. Attualmente si conoscono 40 primi di Carol, è il più grande è quello per n = 253987, che ha 152916 cifre^[5]^[6], ed è stato scoperto dallo stesso Cletus Emmanuel nel maggio 2007, usando i software MultiSieve e PrimeFormGW. Il settimo e il dodicesimo numero di Carol (16127 e 16769023) sono i primi numeri omirp di Carol^[7].