Numero di Fanning

Il fattore di attrito di Fanning (o più semplicemente numero di Fanning) è il gruppo adimensionale dello sforzo di taglio alla parete, e rappresenta il rapporto fra i flussi conduttivo (sforzo di taglio) e convettivo (forze inerziali) di quantità di moto.

Prende il nome da John Thomas Fanning.

Definizione matematicaModifica

È definito come:

f={\frac {2\tau }{\rho u^{2}}}={\frac {f_{D}}{4}}

dove:

τ è lo sforzo di taglio o tensione deviatorica nel materiale;
u è la velocità di flusso locale del materiale;
ρ è la densità del materiale;
$f_{D}$ è il fattore di attrito di Darcy, ottenibile dal diagramma di Moody.

Interpretazione fisicaModifica

ApplicazioniModifica

Dipendenza dalla viscositàModifica

Definendo la viscosità, il numero di Fanning può sempre essere riespresso come:

f={\frac {2||\mu \nabla {\vec {u}}||}{\rho u^{2}}}={\frac {2||\nu \nabla {\vec {u}}||}{u^{2}}}

in cui:

$\mu$ è la viscosità del materiale
$\nu$ è la diffusività cinematica del materiale
$\nabla$ è l'operatore nabla

Nel caso della validità della legge di Stokes, la viscosità è costante perciò questa forma è particolarmente conveniente.

Equazione di Darcy-WeisbachModifica

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Darcy-Weisbach.

Poiché l'equazione di Navier-Stokes della quantità di moto, definendo il carico idraulico, si può riesprimere in un condotto come una correzione all'equazione di Bernoulli:

dH={\frac {L}{r}}\mu \nabla u

Il numero di Fanning può essere legato alla perdita di carico idraulico:

\Delta H=f\,{\frac {L}{r}}\,\rho u^{2}

dove:

$\Delta H$ è la perdita di carico idraulico;
L è la lunghezza del condotto;
r è il raggio equivalente del condotto.

Relazioni con altri numeri adimensionaliModifica

Il numero di Darcy, detto anche fattore di Blasius, utilizzato più frequentemente in ambito chimico e nella convenzione anglosassone sulle unità di misura, è quattro volte il numero di Fanning:

F=4f

,

quindi bisogna prestare attenzione quando ci si riferisce a "fattore di attrito" in quanto si possono intendere ambedue gli adimensionali.

Infine si definisce coefficiente di attrito globale il prodotto del fattore di Blasius per il rapporto lunghezza/diametro equivalente del condotto:

k=4f{\frac {L}{D}}

,

L'equazione di Darcy-Weisbach si riesprime quindi in modo più semplice come:

\Delta H=k\,\,\rho {\frac {u^{2}}{2}}

dove ΔH è la perdita di carico idraulico.

CorrelazioniModifica

Il fattore d'attrito dipende in primo luogo dal numero di Reynolds dalla rugosità, anche se storicamente questa dipendenza è stata spesso espressa con correlazioni implicite rendendo inevitabile l'utilizzo di diagrammi prima dell'avvento dei risolutori numerici di equazioni: tra questi diagrammi vanno citati ad esempio il diagramma di Moody (ottenuto dalla correlazione di Colebrook, implicita) e l'arpa di Nikuradse.

Legge di PoiseuilleModifica

Per un flusso laminare (Re < 2100) in condotti rispettivamente circolari e quadrati esiste una soluzione analitica (Legge di Poiseuille):

f_{c}={\frac {16}{Re}}

,

f_{q}={\frac {14.227}{Re}}

dove Re è il numero di Reynolds del flusso.

Correlazione di BlasiusModifica

Blasius propose una correlazione nel 1913 trascurando la rugosità (condotti lisci) ^[1]:

f=0,079\mathrm {Re} ^{-0.25}

.

Johann Nikuradse in un articolo del 1932 disse che questo corrisponde a una legge di potenza per il profilo di velocità di flusso.

Mishra e Gupta nel 1979 hanno proposto un addendo per tubi elicoidali, con diametro del condotto d e diametro di avvolgimento D^[2]:

f=0,079\mathrm {Re} ^{-}{1 \over 4}+0,0075{\sqrt {\frac {d}{D}}}

,

valido per:

Re_tr < Re < 10⁵
6,7 < D/d < 346,0
0 < L/D < 25,4

Correlazione di ColebrookModifica

Per il flusso turbolento, le correlazioni si complicano: la prima storicamente è stata la correlazione di Colebrook ^[3], implicita nella relazione:

{1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4,0\log _{10}\left({\frac {\frac {R}{d}}{3,7}}+{\frac {1,256}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right)

dove R è la rugosità del tubo (usare sempre unità di misura omogenee):

R = 0,0000547 m per acciaio
R = 0,000259 m per la ghisa
R = 0,000122 m per superfici rivestite
R = 0,000152 m per superfici zincate
R = 0,00165 m per il cemento.

Correlazione di HaalandModifica

o la correlazione di Haaland che ne è un'approssimazione:

{\frac {1}{\,{\sqrt {f\,}}\,}}=-1{,}8\log \left[\left({R \over \;3{,}7\;D\;}\right)^{\!\!{\,10\, \over 9}}+{\frac {\,6{,}9\,}{\mathrm {Re} }}\right]

se 2100 < Re < 4000, si usa impiegare il massimo dei due valori.

Correlazione di ChurchillModifica

Churchill ^[4] ha sviluppato infine una formula valida sia per il moto laminare sia per il turbolento.

f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1,5}\right)^{\frac {1}{12}}

A=\left(-2,457\ln \left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0,9}+0,27{\frac {e}{D}}\right)\right)^{16}

B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}

NoteModifica

^ Trinh, On the Blasius correlation for friction factors, p. 1
^ Rozzia, Toti, Tarantino - Double-wall bayonet tube ALFRED SG - p.90
^ (EN) Colebrook, White, "Esperimenti con attrito fluido in condotti rugosi", Proc. R.Soc.(A), 1937 p. 161
^ (EN) Churchill, "Equazioni del fattore d'attrito attraverso tutti i regimi di flusso", Chem. Eng., 1977 p. 91

Voci correlateModifica

Portale Meccanica

Portale Metrologia

Portale Termodinamica

[Trinh-1] Trinh, On the Blasius correlation for friction factors, p. 1

[2] Rozzia, Toti, Tarantino - Double-wall bayonet tube ALFRED SG - p.90

[3] (EN) Colebrook, White, "Esperimenti con attrito fluido in condotti rugosi", Proc. R.Soc.(A), 1937 p. 161

[4] (EN) Churchill, "Equazioni del fattore d'attrito attraverso tutti i regimi di flusso", Chem. Eng., 1977 p. 91

[1]

[2]

[3]

[4]