Numero di Fanning
Il fattore di attrito di Fanning (o più semplicemente numero di Fanning) è il gruppo adimensionale dello sforzo di taglio alla parete, e rappresenta il rapporto fra i flussi conduttivo (sforzo di taglio) e convettivo (forze inerziali) di quantità di moto.
Prende il nome da John Thomas Fanning.
Definizione matematicaModifica
È definito come:
dove:
- τ è lo sforzo di taglio o tensione deviatorica nel materiale;
- u è la velocità di flusso locale del materiale;
- ρ è la densità del materiale;
- è il fattore di attrito di Darcy, ottenibile dal diagramma di Moody.
Interpretazione fisicaModifica
ApplicazioniModifica
Dipendenza dalla viscositàModifica
Definendo la viscosità, il numero di Fanning può sempre essere riespresso come:
in cui:
- è la viscosità del materiale
- è la diffusività cinematica del materiale
- è l'operatore nabla
Nel caso della validità della legge di Stokes, la viscosità è costante perciò questa forma è particolarmente conveniente.
Equazione di Darcy-WeisbachModifica
Poiché l'equazione di Navier-Stokes della quantità di moto, definendo il carico idraulico, si può riesprimere in un condotto come una correzione all'equazione di Bernoulli:
Il numero di Fanning può essere legato alla perdita di carico idraulico:
dove:
- è la perdita di carico idraulico;
- L è la lunghezza del condotto;
- r è il raggio equivalente del condotto.
Relazioni con altri numeri adimensionaliModifica
Il numero di Darcy, detto anche fattore di Blasius, utilizzato più frequentemente in ambito chimico e nella convenzione anglosassone sulle unità di misura, è quattro volte il numero di Fanning:
- ,
quindi bisogna prestare attenzione quando ci si riferisce a "fattore di attrito" in quanto si possono intendere ambedue gli adimensionali.
Infine si definisce coefficiente di attrito globale il prodotto del fattore di Blasius per il rapporto lunghezza/diametro equivalente del condotto:
- ,
L'equazione di Darcy-Weisbach si riesprime quindi in modo più semplice come:
dove ΔH è la perdita di carico idraulico.
CorrelazioniModifica
Il fattore d'attrito dipende in primo luogo dal numero di Reynolds dalla rugosità, anche se storicamente questa dipendenza è stata spesso espressa con correlazioni implicite rendendo inevitabile l'utilizzo di diagrammi prima dell'avvento dei risolutori numerici di equazioni: tra questi diagrammi vanno citati ad esempio il diagramma di Moody (ottenuto dalla correlazione di Colebrook, implicita) e l'arpa di Nikuradse.
Legge di PoiseuilleModifica
Per un flusso laminare (Re < 2100) in condotti rispettivamente circolari e quadrati esiste una soluzione analitica (Legge di Poiseuille):
- ,
dove Re è il numero di Reynolds del flusso.
Correlazione di BlasiusModifica
Blasius propose una correlazione nel 1913 trascurando la rugosità (condotti lisci) [1]:
- .
Johann Nikuradse in un articolo del 1932 disse che questo corrisponde a una legge di potenza per il profilo di velocità di flusso.
Mishra e Gupta nel 1979 hanno proposto un addendo per tubi elicoidali, con diametro del condotto d e diametro di avvolgimento D[2]:
- ,
valido per:
- Retr < Re < 105
- 6,7 < D/d < 346,0
- 0 < L/D < 25,4
Correlazione di ColebrookModifica
Per il flusso turbolento, le correlazioni si complicano: la prima storicamente è stata la correlazione di Colebrook [3], implicita nella relazione:
dove R è la rugosità del tubo (usare sempre unità di misura omogenee):
- R = 0,0000547 m per acciaio
- R = 0,000259 m per la ghisa
- R = 0,000122 m per superfici rivestite
- R = 0,000152 m per superfici zincate
- R = 0,00165 m per il cemento.
Correlazione di HaalandModifica
o la correlazione di Haaland che ne è un'approssimazione:
se 2100 < Re < 4000, si usa impiegare il massimo dei due valori.
Correlazione di ChurchillModifica
Churchill [4] ha sviluppato infine una formula valida sia per il moto laminare sia per il turbolento.
NoteModifica
- ^ Trinh, On the Blasius correlation for friction factors, p. 1
- ^ Rozzia, Toti, Tarantino - Double-wall bayonet tube ALFRED SG - p.90
- ^ (EN) Colebrook, White, "Esperimenti con attrito fluido in condotti rugosi", Proc. R.Soc.(A), 1937 p. 161
- ^ (EN) Churchill, "Equazioni del fattore d'attrito attraverso tutti i regimi di flusso", Chem. Eng., 1977 p. 91