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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la nozione di omomorfismo in algebra astratta, vedi omomorfismo.
Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modella l'idea intuitiva di "deformazione senza strappi".

La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia. Due spazi topologici e collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali. In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.

Indice

DefinizioneModifica

Un omeomorfismo fra due spazi topologici   e   è una funzione continua   che è anche biunivoca e la cui inversa   è anch'essa continua.[1]

Una definizione equivalente è la seguente: un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca   fra spazi topologici tale che un sottoinsieme   di   è aperto se e solo se lo è la sua immagine   in  . Brevemente, è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.

Se esiste un omeomorfismo tra   e  , i due spazi sono detti omeomorfi. La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.

EsempiModifica

Intervalli della retta realeModifica

Siano   due numeri reali. La funzione

 
 

è un omeomorfismo. Infatti è continua, biunivoca, e la sua inversa

 
 

è anch'essa continua. Ogni intervallo chiuso e limitato   è quindi omeomorfo all'intervallo  . Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.

Si verifica analogamente che gli intervalli aperti   sono tutti omeomorfi fra loro. Non solo: un intervallo aperto è omeomorfo all'intera retta reale   tramite la funzione tangente

 
 

che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente). La limitatezza non è quindi un invariante topologico: uno spazio limitato come   può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come  .

ProprietàModifica

Due spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza...). Nel linguaggio della teoria delle categorie, si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.

NoteModifica

  1. ^ M. Manetti, p. 45

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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