Omomorfismo

In algebra astratta, un omomorfismo è un'applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni in esse definite. Questo oggetto, calato nel contesto più astratto della teoria delle categorie, prende il nome di morfismo.

Ad esempio, considerando insiemi con una singola operazione binaria (un magma), la funzione $\varphi :\ A\ \to \ B$ è un omomorfismo se vale

$\varphi \left(u*v\right)=\varphi \left(u\right)\#\varphi \left(v\right)$

per ogni coppia $u$, $v$ di elementi di $A$, dove $*\!\$ e $\#$ sono le operazioni binarie di $A$ e $B$ rispettivamente.

Ogni tipo di struttura algebrica ha i suoi specifici omomorfismi:

• Omomorfismo di gruppi
• Omomorfismo di anelli
• Applicazione lineare (omomorfismo tra spazi vettoriali)
• Omomorfismo di algebre

Definizione

Una definizione rigorosa generale di omomorfismo può essere data nel modo seguente:

Siano $A$ e $B$ due strutture algebriche dello stesso tipo. Una funzione $\phi :A\to B$ è un omomorfismo se, per ogni operazione $f$ (su n elementi) delle strutture e per ogni n-upla $x_{1},\dots ,x_{n}$ di $A$ si ha:

$\phi (f_{A}(x_{1},\dots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\dots ,\phi (x_{n}))$

dove $f_{A}$ e $f_{B}$ rappresentano l'operazione $f$ nelle strutture $A$ e $B$ rispettivamente. Va data particolare attenzione al fatto che $f_{A}$ e $f_{B}$ rappresentano delle operazioni in un senso ampio del termine. Nello specifico, se una struttura algebrica è dotata di particolari elementi (per esempio unità o zeri), tali elementi devono essere interpretati come funzioni costanti su zero elementi; per cui se, per esempio, $1_{A}$ e $1_{B}$ fossero le unità delle rispettive strutture, allora deve valere che $\phi (1_{A})=1_{B}$.

Classificazione

In algebra astratta:

• Si chiama monomorfismo ogni omomorfismo iniettivo;
• Si chiama epimorfismo ogni omomorfismo suriettivo;
• Si chiama isomorfismo ogni omomorfismo biiettivo.

Se in particolare A e B coincidono:

• Si chiama endomorfismo della struttura A ogni omomorfismo di A in sé stesso;
• Si chiama automorfismo della struttura A ogni isomorfismo di A in sé stesso.

Notare che dei concetti di monomorfismo e epimorfismo, in teoria delle categorie, vengono date delle definizioni più deboli.

Voci correlate

• Morfismo
• Algebra astratta
• Struttura algebrica
• Quasi omomorfismo
• Crittografia omomorfica

Collegamenti esterni

• omomorfismo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• omomorfismo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• omomorfismo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) homomorphism, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Homomorphism, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Homomorphism, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.