Apri il menu principale

In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione.

Indice

DefinizioneModifica

Siano   e   due anelli. Una funzione   è un omomorfismo se, per ogni  ,

  e
 .

Di conseguenza,   è un omomorfismo di anelli se e solo se è un omomorfismo tra i gruppi   e   e tra i semigruppi   e  .

Se   è una funzione biunivoca, allora la sua inversa   è anch'essa un omomorfismo di anelli. In tal caso,   è detto isomorfismo di anelli.

La composizione di due omomorfismi di anelli è un omomorfismo di anelli. La classe di tutti gli anelli con i loro omomorfismi forma quindi una categoria.

Omomorfismi unitariModifica

Se i due anelli sono unitari, e l'immagine dell'unità di   è l'unità di  , allora l'omomorfismo è detto unitario. Spesso, in contesti in cui tutti gli anelli considerati sono unitari (come ad esempio nella gran parte dell'algebra commutativa) vengono considerati solo gli omomorfismi unitari.

In questo caso,   induce una mappa tra gli elementi invertibili di   e gli elementi invertibili di  , che risulta essere un omomorfismo di gruppi.

EsempiModifica

Esempi banali di omomorfismi sono l'identità  , l'inclusione di anelli   (dove   è un sottoanello di  ) e l'omomorfismo nullo che manda ogni elemento di   nello zero di  . Mentre l'identità è sempre un omomorfismo unitario e l'omomorfismo nullo non lo è mai, un'inclusione può non essere unitaria anche se entrambi gli anelli possiedono unità: ad esempio, se   è un anello,   il prodotto diretto di   con sé stesso (ovvero il prodotto cartesiano dotato delle operazioni termine a termine) allora l'inclusione   tale che   è un omomorfismo, ma non è un omomorfismo unitario.

Un altro esempio di omomorfismo è la funzione  , definita come   (dove   è l'anello delle classi di resto modulo  ). Viceversa, l'unico omomorfismo da   a   è l'omomorfismo nullo.

Dato un anello commutativo  , e un elemento  , la funzione che associa ad ogni polinomio   di   la sua valutazione   è un omomorfismo da   ad  , detto omomorfismo di valutazione. Esso è usato, ad esempio, nella teoria di Galois e nello studio dei polinomi a valori interi.

ProprietàModifica

  • Il nucleo di  ,
 
è un ideale bilatero di  . Viceversa, ogni ideale bilatero di   è il nucleo di un omomorfismo di anelli. Al contrario, gli ideali destri ma non sinistri (o viceversa) non sono nuclei di alcun omomorfismo. Se   è commutativo e   è un dominio d'integrità, allora il nucleo è un ideale primo di  .
  • L'immagine di   è un sottoanello di  .
  • Se   è un corpo (ad esempio, se è un campo) ed   è non nullo, allora è iniettivo. Questo segue dal fatto che i corpi non hanno ideali bilateri non banali.
  • Per ogni anello unitario  , esiste un solo omomorfismo unitario dall'anello dei numeri interi   ad  , detto omomorfismo caratteristico dell’anello  . Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'anello   è quindi un oggetto iniziale della categoria degli anelli unitari.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica