Operatore (fisica)

In fisica, un operatore è una funzione che va da uno spazio degli stati ad un altro spazio degli stati. L'esempio più semplice dell'utilità degli operatori è lo studio della simmetria, che in questo contesto rende utile il concetto di gruppo. Per questo motivo, sono strumenti molto utili nella meccanica classica. Gli operatori sono ancora più importanti nella meccanica quantistica, dove formano una parte importante della formulazione della teoria. Va detto anche che le proprietà matematiche degli operatori fisici sono un argomento di grande importanza in sé.

Operatori in meccanica classicaModifica

Nella meccanica classica, il movimento di una particella, o sistema di particelle, è completamente determinato dalla Lagrangiana   o, equivalentemente, dall'Hamiltoniana  , che sono funzioni delle coordinate generalizzate  , delle rispettive velocità generalizzate   e momenti coniugati  .

Se   o   sono indipendenti da una coordinata generalizzata  , che viene detta ciclica, significa che la dinamica della particella è sempre la stessa anche quando   cambia. Pertanto, per il teorema di Noether, i momenti lineari coniugati alle coordinate cicliche verranno conservati e l'invarianza del moto rispetto alla coordinata   è una simmetria. Gli operatori della meccanica classica sono collegati a queste simmetrie. Più precisamente, quando   è invariante sotto l'azione di un certo gruppo di trasformazioni  :

 .

gli elementi di   sono operatori fisici, che mappano gli stati fisici tra loro.

Tabella degli operatori della meccanica classicaModifica

Transformazione Operatore Posizione Velocità Quantità di moto
Simmetria traslazionale        
Simmetria traslazionale-temporale        
Invarianza rotazionale        
Trasformazioni galileiane        
Parità        
Simmetria temporale        

dove   il tensore delle rotazioni dell'asse definito dal versore   e dall'angolo  .

GeneratoriModifica

Se la trasformazione è infinitesimale, l'azione dell'operatore dovrebbe essere della forma

 

dove   è il tensore identità,   un parametro infinitesimale, e   dipenderà dalla trasformazione in corso ed è detto insieme di generatori. Un altro esempio si ottiene derivando il generatore delle traslazioni spaziali su funzioni monodimensionali.

Come già affermato,  , se   allora si avrà che

 

Questa formula può essere riscritta come

 

dove   è il generatore del gruppo traslazionale, che in questo caso rappresenta l'operatore derivata. Pertanto, si dice che il generatore delle traslazioni sia la derivata.

La mappa esponenzialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: C*-algebra e Teorema di Gelfand-Naimark.

Di norma, l'intero gruppo può essere ricavato dai generatori, tramite la mappa esponenziale. Nel caso delle traslazione l'idea di fondo è questa.

La traslazione per un valore finito pari ad   si potrebbe ottenere applicando in modo reiterato una traslazione infinitesimale:

 

Se   è grande, ciascun fattore potrà essere considerato infinitesimale:

 

Tuttavia questo limite può essere riscritto come esponenziale:

 

Per avere conferma della validità di questa espressione, possiamo espandere l'esponenziale in una serie di potenze:

 

Il secondo membro può essere riscritto come

 

che è semplicemente l'espansione in serie di Taylor di  , che era il valore originale di  .

Operatori in meccanica quantisticaModifica

La formulazione matematica della meccanica quantistica si basa sul concetto di operatore.

La funzione d'onda rappresenta l'ampiezza di probabilità di trovare il sistema in quello stato. I termini "funzione d'onda" e "stato" nel contesto di meccanica quantistica sono generalmente usati in modo intercambiabile.[senza fonte]

Gli stati fisici puri nella meccanica quantistica sono rappresentati come versori normali, cioè le probabilità sono normalizzate, in uno spazio di Hilbert in campo complesso. L'evoluzione temporale in questo spazio vettoriale è data dall'applicazione dell'operatore evoluzione temporale.

Qualsiasi osservabile, cioè qualsiasi quantità che può essere misurata in un esperimento fisico, dovrebbe essere associata a un operatore lineare autoaggiunto. Gli operatori devono fornire autovalori reali, poiché sono valori che possono emergere come risultato dell'esperimento. Sebbene tradizionalmente i fisici associassero gli autovalori reali all'hermitianità, nel 1998 i fisici si resero conto che esistono anche operatori non-hermitiani con spettri del tutto reali, cioè gli operatori simmetrici di parità di tempo.[1][2][3] Per gli operatori hermitiani, la probabilità di ogni autovalore è correlata alla proiezione dello stato fisico sul sottospazio correlato a tale autovalore.

Nella formulazione ondulatoria della meccanica quantistica, la funzione d'onda varia con lo spazio, o equivalentemente con la quantità di moto, e il tempo, quindi gli osservabili sono operatori differenziali.

Nella formulazione matriciale, la norma dello stato fisico dovrebbe rimanere fissa, quindi l'operatore di evoluzione dovrebbe essere unitario e gli operatori possono essere rappresentati come matrici. Qualsiasi altra simmetria, mappando uno stato fisico in un altro, dovrebbe mantenere questa limitazione.

Forma della funzione d'ondaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio Lp.

La funzione d'onda deve essere quadrato integrabile, ovvero:

 

e normalizzabile, in modo che:

 

I due casi di autostati, e autovalori, sono:

  • per autostati discreti  , che formano una base discreta, il corrispondente set di autovalori   è esso stesso discreto, e sarà composto da un insieme finito o al più numerabile. Pertanto, detti   i numeri complessi tali che  , ovvero probabilità di misurare lo stato  , lo stato è dato dalla sommatoria
 
  • per un continuum di autostati  , che formano una base continua, esiste un insieme non numerabile di autovalori  . Pertanto, detta   una funzione complessa tale che  , ovvero la probabilità di misurare lo stato  , quindi lo stato è dato dall'integrale
 

Operatori lineari nella meccanica ondulatoriaModifica

Sia   la funzione d'onda per un sistema quantistico e   un operatore lineare per un qualche   osservabile, si ha che

 

dove   è l'autovalore dell'operatore, corrispondente al valore misurato dell'osservabile, ovvero l'osservabile   ha un valore misurato  , e   è l'autofunzione di   se questa relazione è valida.

Se   è un'autofunzione di un determinato operatore  , allora verrà osservata una quantità definita, ovvero l'autovalore  , dopo aver effettuato una misurazione dell'osservabile   sullo stato  . Al contrario, se   non è un'autofunzione di  , allora non ha autovalore per   e l'osservabile non ha un singolo valore definito in quel caso. Invece, le misurazioni della   osservabile produrranno ogni autovalore con una certa probabilità, correlata alla decomposizione di   rispetto alle autobasi ortonormali di  .

Nella notazione bra-ket si può scrivere quanto sopra come

 

nel caso in cui   sia un autovettore, o autoket.

A causa della linearità, i vettori possono essere definiti in qualsiasi numero di dimensioni, poiché ciascun componente del vettore agisce separatamente sulla funzione. Un esempio matematico è l'operatore nabla, che è esso stesso un vettore. Un operatore nello spazio  -dimensionale può essere scritto:

Un operatore nello spazio  -dimensionale può essere scritto:

 

dove   sono vettori di base corrispondenti a ciascuna operatore componente  . Ogni componente produrrà un autovalore corrispondente, perciò applicando l'operatore alla funzione d'onda  :

 

per cui

 

In notazione bra-ket

 

Commutazione degli operatori su ΨModifica

Se due osservabili   e   hanno operatori lineari   e  , il commutatore è definito come

 

Il commutatore è esso stesso un operatore composito, applicando il commutatore su   si ha

 

Se   è un'autofunzione con autovalori   e  , rispettivamente per gli osservabili   e  , e se gli operatori commutano si ottiene

 

quindi gli osservabili   e   possono essere misurati simultaneamente con precisione infinita, cioè le incertezze sono contemporaneamente  ,  . Allora   è detta autofunzione simultanea ad   e  :

 

È evidente che la misurazione di   e   non provoca alcun cambiamento di stato, vale a dire che gli stati iniziale e finale sono gli stessi, ovvero nessun disturbo dovuto alla misurazione. Supponiamo di misurare   per ottenere un valore  , per poi misurare   per ottenere un valore  . Misurando di nuovo  , si ottiene ancora lo stesso valore  . Chiaramente lo stato   del sistema non viene a collassare e quindi è possibile misurare   e   contemporaneamente con precisione infinita.

Invece, se gli operatori non commutano si ha

 

pertanto, le misure non possono essere realizzate contemporaneamente e con precisione arbitraria, quindi esiste una relazione di incertezza tra gli osservabili:

 

anche se   è un'autofunzione, la relazione di cui sopra vale. Le coppie notevoli sono posizione e quantità di moto, energia e tempo, relazione di incertezza e momento angolare (spin, orbitale e totale) attorno a due assi ortogonali (come   e  , oppure   e   ecc.).[4]

Valori attesi degli operatori su ΨModifica

Il valore atteso, o equivalentemente il valore medio, è la misura media di un osservabile, per particella nella regione   ed è calcolato come[5]

 

Questo può essere generalizzato a qualsiasi funzione   di un operatore:

 

Un esempio di   è l'azione doppia di   su  , ovvero il quadrato dell'operatore:

 

Operatori hermitianiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore autoaggiunto.

La definizione di un operatore hermitiano è:[1]

 

Di seguito, in notazione bra-ket:

 

Le proprietà importanti degli operatori hermitiani includono:

  • autovalori reali,
  • gli autovettori con autovalori diversi sono ortogonali,
  • gli autovettori possono essere scelti come base ortonormale completa,

Operatori nella meccanica delle matriciModifica

Un operatore può essere scritto in forma di matrice per mappare un vettore base su un altro. Poiché gli operatori sono lineari, la matrice è una trasformazione lineare tra le basi, nota anche come matrice di transizione. Ogni elemento base   può essere messo in relazione a un altro[5] dall'espressione

 

che è un elemento matrice

 

Un'ulteriore proprietà di un operatore hermitiano è che le autofunzioni corrispondenti a diversi autovalori sono ortogonali.[1] In forma di matrice, gli operatori consentono di trovare autovalori reali corrispondenti alle misurazioni. L'ortogonalità consente a una base adeguata di vettori di rappresentare lo stato del sistema quantistico. Gli autovalori dell'operatore vengono valutati allo stesso modo della matrice quadrata, risolvendo il polinomio caratteristico

 

dove   è la matrice di identità  , come operatore corrisponde all'operatore di identità. Per una base discreta è pari a

 

mentre per una base continua si ha che

 

Inverso di un operatoreModifica

Un operatore non-singolare   ha un inverso   definito come

 

Se un operatore non ha inverso, è un operatore singolare. In uno spazio di dimensioni finite, un operatore è non singolare se e solo se il suo determinante è diverso da zero

 

e quindi il determinante è zero per un operatore singolare.

Tabella degli operatori della meccanica quantisticaModifica

Gli operatori utilizzati nella meccanica quantistica sono raccolti nella tabella seguente (si veda ad esempio[1][6]). I vettori in grassetto con l'accento circonflesso non sono versori, sono operatori a tridimensionali, contenenti tutte e tre le componenti spaziali prese assieme.

Operatore Componenti cartesiane Definizione generale Unità di misura
Posizione     m
Impulso o quantità di moto Generale

 

Generale

 

J · s · m−1 = N · s
Campo elettromagnetico

 

Campo elettromagnetico

 

dove   è il potenziale vettore

J · s · m−1 = N · s
Energia cinetica Translazionale

 

  J
Campo elettromagnetico

 

Campo elettromagnetico

 

dove   è il potenziale vettore

J
Rotazione

 

dove   è il momento d'inerzia

Rotazione

 

J
Energia potenziale N/A   J
Energia totale N/A   Dipendente dal tempo

  Indipendente dal tempo

J
Operatore hamiltoniano   J
Momento angolare     J · s = N · s · m
Spin  dove

 

 

 

sono le matrici di Pauli per le particelle con spin pari a 1/2.

 

dove   è il vettore composto dalle matrici di Pauli.

J · s = N · s · m
Momento angolare totale     J · s = N · s · m
Momento di transizione del dipolo elettrico     C · m

Esempi di applicazione di operatori quantisticiModifica

La procedura per estrarre informazioni da una funzione d'onda è la seguente: si consideri l'impulso   di una particella come esempio. L'operatore impulso in funzione della posizione in una dimensione è:

 

Lasciando questo atto su   otteniamo:

 

se   è un'autofunzione di  , quindi l'autovalore   del momento è il valore del momento della particella, trovato da:

 

Per tre dimensioni l'operatore impulso utilizza l'operatore nabla per diventare:

 

Nelle coordinate cartesiane, usando i vettori base cartesiani standard  ,  ,  , questo può essere riscritto come

 

dove

 

Il processo di ricerca degli autovalori è lo stesso, infatti, poiché si tratta di un'equazione di vettori e operatore, se   è un'autofunzione, ogni componente dell'operatore impulso avrà un autovalore corrispondente a quella componente di quantità di moto. Applicando  a   si ottiene

 

NoteModifica

  1. ^ a b c d Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977,
  2. ^ Carl M. Bender, Making Sense of Non-Hermitian Hamiltonians, in Reports on Progress in Physics, vol. 70, n. 6, 1º giugno 2007, pp. 947–1018, Bibcode:2007RPPh...70..947B, DOI:10.1088/0034-4885/70/6/R03.
  3. ^ Carl M. Bender e Stefan Boettcher, Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT Symmetry, in Physical Review Letters, vol. 80, n. 24, 15 giugno 1998, pp. 5243–5246, Bibcode:1998PhRvL..80.5243B, DOI:10.1103/PhysRevLett.80.5243.
  4. ^ vol. 42, Bibcode:1970RvMP...42..358B, DOI:10.1103/RevModPhys.42.358.
  5. ^ a b Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
  6. ^ Quanta: A handbook of concepts, P.W. Atkins, Oxford University Press, 1974, ISBN 0-19-855493-1

Voci correlateModifica