Equazione biarmonica

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In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa.

L'equazioneModifica

L'equazione biarmonica ha la forma:

 

oppure:

 

o anche:

 

dove   è la quarta potenza dell'operatore nabla, cioè il quadrato del laplaciano   (indicato anche con  ). Un tale operatore differenziale è anche detto operatore bilaplaciano o operatore biarmonico. In una diversa notazione può essere scritto in   dimensioni come:

 

Ad esempio, nel caso tridimensionale e in coordinate cartesiane:

 

Un altro esempio in   dimensioni si trova considerando:

 

dove:

 

Per i soli valori   e   diventa l'equazione biarmonica.

Equazione in due dimensioniModifica

In coordinate polari bidimensionali l'equazione biarmonica assume la forma:

 

e può essere risolta tramite separazione delle variabili, ottenendo la soluzione di Michell.

La soluzione generale in due dimensioni è:

 

dove  ,   e   sono funzioni armoniche e   è il coniugato armonico di  .

La forma generale per una funzione biarmonica in due variabili si può scrivere anche come:

 

dove   e   sono funzioni analitiche.

BibliografiaModifica

  • (EN) Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • (EN) S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
  • (EN) J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987, ISBN 0-486-65407-9.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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