Equazione biarmonica

In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa.

L'equazione

L'equazione biarmonica ha la forma:

$\nabla ^{4}\varphi =0$

oppure:

$\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0$

o anche:

$\Delta ^{2}\varphi =0$

dove $\nabla ^{4}$ è la quarta potenza dell'operatore nabla, cioè il quadrato del laplaciano $\nabla ^{2}$ (indicato anche con $\Delta$). Un tale operatore differenziale è anche detto operatore bilaplaciano o operatore biarmonico. In una diversa notazione può essere scritto in $n$ dimensioni come:

$\nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi$

Ad esempio, nel caso tridimensionale e in coordinate cartesiane:

${\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0$

Un altro esempio in $n$ dimensioni si trova considerando:

$\nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}$

dove:

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$

Per i soli valori $n=3$ e $n=5$ diventa l'equazione biarmonica.

Equazione in due dimensioni

In coordinate polari bidimensionali l'equazione biarmonica assume la forma:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0$

e può essere risolta tramite separazione delle variabili, ottenendo la soluzione di Michell.

La soluzione generale in due dimensioni è:

$xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)$

dove $u(x,y)$, $v(x,y)$ e $w(x,y)$ sono funzioni armoniche e $v(x,y)$ è il coniugato armonico di $u(x,y)$.

La forma generale per una funzione biarmonica in due variabili si può scrivere anche come:

$\operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))$

dove $f(z)$ e $g(z)$ sono funzioni analitiche.

Bibliografia

• (EN) Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• (EN) S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
• (EN) J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987, ISBN 0-486-65407-9.

Voci correlate

• Equazione di Laplace
• Funzione armonica
• Operatore di Laplace
• Teoria del potenziale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione biarmonica, su MathWorld, Wolfram Research.