Operatore bilineare

In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Definizione

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Siano  ,   e   tre spazi vettoriali sullo stesso campo  ; un operatore bilineare è una funzione:

 

tale che per ogni   la mappa:

 

è un operatore lineare da   a  , e per ogni   la mappa:

 

è un operatore lineare da   a  . In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se   e si ha   per ogni  , allora   è simmetrico.

Nel caso in cui  , si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo  . È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in   variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo  , un modulo destro   e un modulo sinistro  , possiamo definire un operatore bilineare  , ove   è un gruppo abeliano, tale che per ogni  ,  , e per ogni  ,   sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:

 

per ogni  .

Proprietà

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Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che   ogni volta che   o  . Ciò si prova scrivendo il vettore nullo   come   e spostando lo scalare   "al di fuori", davanti a  , per linearità.

L'insieme   di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da   in  .

Se   sono di dimensione finita, allora lo è anche  . Se  , (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è   (mentre lo spazio   di forme lineari ha dimensione  ). Per provarlo, si scelgano una base   per   e una base   per  ; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice   data da  , e viceversa (qui   e   denotano rispettivamente l' -esimo elemento della base   e il  -esimo elemento della base  ).

Se   è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente  .

  • La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare  .
  • Se in uno spazio vettoriale   sul campo dei numeri reali   definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare  .
  • In generale, per uno spazio vettoriale   su un campo  , una forma bilineare su   è equivalente a un operatore bilineare  .
  • Se   è uno spazio vettoriale,   è il suo spazio duale e  , allora l'operatore di applicazioni   è un operatore bilineare da   nel campo di base.
  • Siano   e   due spazi vettoriali sullo stesso campo  . Se   è un elemento di   e   è un elemento di  , allora   definisce un operatore bilineare  .
  • Il prodotto vettoriale in   è un operatore bilineare  .
  • Siano   un operatore bilineare e   un operatore lineare; allora   è un operatore bilineare su  .
  • La mappa nulla, definita da   per ogni   è l'unica mappa da   in   che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se   e   è una mappa sia lineare che bilineare, allora   (per linearità rispetto alla somma di  ) e   (per bilinearità).

Bibliografia

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  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
  • (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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