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Operatore di traslazione spaziale

L'operatore di traslazione spaziale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato della posizione della particella e lo trasforma in un altro stato della posizione.

Consideriamo una particella quantistica che si trovi in uno stato ben localizzato nel senso della probabilità intorno alla posizione e sia l'autovettore che rappresenta lo stato in questione. Vogliamo eseguire una trasformazione che trasli questo stato in un altro stato ben localizzato nella posizione . Per fare ciò introduciamo un operatore: l'operatore di traslazione spaziale infinitesima che agisce in modo tale:

(1)

Consideriamo uno stato arbitrario , l'azione dell'operatore di traslazione infinitesima su questo stato è quello di traslarlo di una quantità :

(2)

Vediamo che proprietà deve avere l'operatore di traslazione infinitesima. Innanzitutto lo stato deve essere normalizzato a 1, quindi:

e questo implica che

cioè l'operatore di traslazione infinitesimo deve essere unitario. Inoltre per il nostro operatore deve eseguire una trasformazione unitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità. Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due traslazioni consecutive infinitesime deve portare ad una traslazione somma:

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di traslazione infinitesima:

(3)

dove I è l'operatore identità e è il generatore delle traslazioni spaziali ed è un operatore hermitiano, infatti:

ossia:

e questo prova anche che l'operatore è un operatore unitario. Inoltre si può verificare che due traslazioni successive:

Inoltre è ovvio che:

e inoltre che:

Per vedere quale sia il generatore delle traslazioni possiamo utilizzare un'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica infinitesima delle coordinate generalizzate, lasciando invariati gli impulsi:

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

dove genera una trasformazione identica. Questa funzione generatrice è molto simile alla (3), quindi possiamo supporre che coincida a meno di un fattore costante con l'impulso. Il fattore costante in questione è la costante di Planck ridotta poiché essa permette all'operatore di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di traslazione infinitesima:

(4)

Poiché una traslazione finita che supponiamo sia sull'asse x può essere considerata come il prodotto di N traslazioni infinitesime :

Traslazioni su assi diversiModifica

Una caratteristica delle traslazioni è che traslazioni successive su assi diversi commutano. Prendiamo per esempio una traslazione prima sull'asse x e successivamente sull'asse y:

 

è matematicamente identica ad eseguire prima una traslazione sull'asse y e successivamente sull'asse x:

 

cioè traslazioni su assi diversi commutano, sviluppando al secondo ordine l'operatore di traslazione deve risultare:

 

questo perché le componenti dell'operatore impulso commutano:

 

e queste rappresentano altre relazioni fondamentali di commutazione, che sono anche alla base del principio di indeterminazione di Heisenberg. Infatti come si può verificare facilmente la commutazione tra l'operatore posizione e l'operatore di traslazione spaziale, considerando le componenti:

 

questo vuol dire che:

 

e ciò dimostra che le coordinate e le componenti dell'impulso lungo gli stessi assi non possono essere misurati simultaneamente. Le tre relazioni:

 
 
 

sono chiamate regole di commutazione canoniche quantistiche fondamentali.

Il principio di indeterminazione che in generale si scrive:

 

per la posizione e l'impulso in una dimensione diventa:

 

BibliografiaModifica

  • J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
  • L.D. Landau, E.M. Lifŝits - Meccanica quantistica, teoria non relativistica

Voci correlateModifica