Operatore lineare chiuso

In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio di Banach. Un operatore lineare:

 

è detto chiuso se per ogni successione   in   convergente a   tale che:

 

si ha che   e che:

 

In modo equivalente,   è chiuso se il suo grafico è chiuso in  .[1]

Dato un operatore  , se la chiusura del suo grafico in   è il grafico di un qualche operatore   allora   è la chiusura di  , e   è detto chiudibile.   è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso   al dominio   di  .

ProprietàModifica

  • Se   è chiuso allora   è chiuso, dove   è uno scalare e   l'identità.
  • Se   è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di  .
  • Se   è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso   è chiuso.
  • Un operatore   ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni   e   in   convergenti a   e tali che sia   che   convergono, si ha:
 

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 250.

BibliografiaModifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica