Operatore lineare continuo

In analisi funzionale un operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico è una trasformazione lineare che è continua rispetto alla topologia presente.

Indice

DefinizioneModifica

Un operatore lineare tra spazi vettoriali è una trasformazione lineare definita su una varietà lineare contenuta nello spazio vettoriale di partenza.[1]

Un operatore lineare   è continuo in un punto   se per ogni intorno   di   esiste un intorno   di   tale che   quando  . In particolare, un operatore lineare   definito tra spazi normati   e   è continuo se per ogni   esiste un numero   tale che:

 

implica:

 

Data una trasformazione lineare tra spazi normati, essa è continua ovunque se e solo se è continua in un punto, ed è continua se e solo se è limitata.[2]

Operatori tra spazi di BanachModifica

Particolare importanza ricoprono gli operatori tra spazi di Banach. Se   e   sono due spazi di Banach, la famiglia degli operatori lineari continui da   a   si indica con  . Se lo spazio   sono i numeri reali con la struttura euclidea,   è lo spazio duale topologico di  , indicato con   e contenente i funzionali lineari continui definiti in   e a valori in  .

Norma di un operatoreModifica

La norma di un operatore tra spazi normati si definisce come:[3]

 

Per ogni   si ha:

 

e di conseguenza:

 

Ogni operatore continuo è quindi lipschitziano.

ProprietàModifica

Per la norma di   risultano le seguenti identità:

 

Per ogni vettore   esiste un operatore lineare continuo, non necessariamente unico, tale che:

 

Questo risultato è un corollario del teorema di Hahn-Banach, e da esso deriva a sua volta il corollario della norma:

 

Se   è un sottospazio chiuso proprio di   esiste sempre un operatore   non identicamente nullo tale che il suo nucleo coincide con  .

Se una successione   di operatori continui converge puntualmente verso una funzione  , allora essa è lineare e continua e:

 

Limitatezza e graficoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore limitato e Grafico di una funzione.

Il teorema della funzione aperta afferma che un operatore lineare continuo (e quindi limitato) tra spazi di Banach mappa insiemi aperti in insiemi aperti, ovvero è una funzione aperta.[4] Come conseguenza, ogni applicazione lineare biettiva e continua tra spazi di Banach possiede un'inversa continua.

Il teorema della funzione aperta permette inoltre di dimostrare il teorema del grafico chiuso. Si supponga che   e   siano spazi di Banach, e che   sia un operatore lineare. Il teorema afferma che   è limitato se e solo se il suo grafico è chiuso nello spazio   dotato della topologia prodotto.[5] Un suo corollario, il teorema di Hellinger-Toeplitz, mostra che un operatore simmetrico   definito su di uno spazio di Hilbert   è limitato.[6] Questo risultato è di notevole importanza in fisica, dove si richiede una qualche forma di simmetria ad alcuni importanti operatori non limitati, come l'energia in meccanica quantistica, che non possono per questo essere definiti ovunque.

Topologia operatorialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Topologia operatoriale.

Quando si trattano operatori lineari continui su spazi di Banach o di Hilbert è possibile definire diverse topologie a partire dalla convergenza di successioni di operatori. Sia   una successione di operatori lineari continui su uno spazio di Hilbert   (in modo equivalente si può considerare uno spazio di Banach).

  • Si dice che   converge a   in   nella topologia operatoriale ordinaria o forte se:
 
La topologia operatoriale ordinaria è la topologia localmente convessa meno fine sullo spazio degli operatori limitati definiti su uno spazio di Hilbert (o di Banach) tale per cui la mappa che associa ad un operatore la sua norma è continua per ogni elemento di  .
  • Si dice che   converge a   in   nella topologia operatoriale debole se:
 
In modo equivalente,   converge a   nella topologia iniziale di  . La topologia operatoriale debole è la topologia più debole sullo spazio degli operatori limitati definiti su uno spazio di Hilbert tale per cui la mappa che associa ad un operatore il numero   è continua per ogni coppia di elementi di  .
  • Si dice che   converge a   in   nella topologia operatoriale uniforme se:
 
In modo equivalente:
 
Tale topologia è più fine delle precedenti.

La convergenza nella topologia operatoriale uniforme implica quella ordinaria, che a sua volta implica quella debole. Inoltre ogni limite, se esiste, è unico.

NoteModifica

  1. ^ La richiesta che il dominio sia una varietà lineare è necessaria nel caso generale di spazi vettoriali di dimensione infinita.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 9
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 182
  4. ^ Reed, Simon, Pag. 82
  5. ^ Reed, Simon, Pag. 83
  6. ^ Reed, Simon, Pag. 84

BibliografiaModifica

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica