Operatore momento angolare totale

operatore quantistico

In meccanica quantistica, l'operatore momento angolare totale è responsabile delle rotazioni nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al momento angolare orbitale perché si generalizza anche al momento angolare di spin e soprattutto è usato nella composizione di operatori momento angolare, essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.

È anche possibile dimostrare che il momento angolare totale è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Formalmente il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con si può indicare sia , sia e anche una composizione di momenti oppure o ancora .

Le proprietà dell'operatore momento angolare totaleModifica

L'operatore momento angolare totale, analogamente al momento angolare orbitale, genera le rotazioni lungo un asse: la funzione d'onda   ruotata di un angolo   attorno all'asse  , diventa:

 .

Per una rotazione infinitesima si ha:

 .

Proprietà di commutazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Le proprietà di commutazione per l'operatore momento angolare totale sono:

 
 
 ,

dove   sono le proiezioni del momento angolare totale lungo gli assi cartesiani; in forma compatta è possibile scrivere:

 ,

dove   è il tensore di Levi-Civita.

Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore  .

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:

 
 
 .

È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli operatori di posizione e impulso; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:

 
 
 .

Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con   ed  ; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse. In forma compatta si ha:

 ,

dove   e   è il tensore di Levi-Civita, che è uguale a   per permutazioni pari degli indici,   per permutazioni dispari e   se  .

Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lo stesso discorso:

 .

Spettro dell'operatore momento angolare totaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Si è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. È possibile scegliere una sola componente (per esempio  ) che commuta con  ; in questo modo lo stato, che è autostato di entrambi gli operatori, può essere chiamato  . Si possono trovare quali sono gli autovalori   (a volte più propriamente indicati con  ,  , oppure con  ,  ) simultanei di questi operatori:

 

Per fare questo è necessario introdurre due operatori, detti operatori di scala:

 ,

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le seguenti proprietà:

 
 
 .

L'operatore   può essere espresso in termini di   e operatori di scala   nel seguente modo:

 .

Se si fa agire   sullo stato   si ottiene:

 .

Applicando   l'autovalore di   (cioè  ) aumenta di  ; viceversa applicando  , l'autovalore viene diminuito di  , da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando   si ha:

 ,

cioè l'applicazione degli operatori   cambia l'autovalore di  , ma non di  .

La relazione che lega   e   è:

 .

Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale   non possono superare quelli di  , cioè  :

 .

Quindi l'autovalore di   è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere  . Posti   il valore minimo e   il valore massimo che può assumere  , e applicando successivamente gli operatori di scala  , deve essere che:

  e  .

Se si applica   a   si ottiene che:

 ,

da cui:

 .

Quindi l'autovalore di   è  volte  . A causa della limitatezza di   e data la simmetria di cui  deve godere rispetto al piano  , si ha che   deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto  valori di  , cioè  .

Per gli autovalori di   si ottiene:

 ,

e per gli autovalori di  :

 ,

dove   è il numero quantico del momento angolare totale, che può essere intero o semintero, ed   è il numero quantico della proiezione del momento angolare totale.

Elementi di matriceModifica

Per analizzare la struttura delle matrici dei momenti angolari, si assuma che tali momenti siano calcolati sugli autostati   già normalizzati; di conseguenza in questa base di autostati sia   sia   sono diagonali:

 
 .

Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:

 ,

dove   è un coefficiente. Utilizzando l'uguaglianza:

 ,

e ricavando l'espressione di   e di  , per   si ha che:

 .

In definitiva:

 ,

e gli elementi di matrice sono:

 .

Per esempio per   si ottiene:

 
 
 .


Per   le matrici prendono la forma delle matrici di Pauli a due componenti:

 
 
 .

Per   le matrici prendono la forma:

 
 
 .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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