In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto.[1] Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

DefinizioneModifica

Dato uno spazio di Hilbert   definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo   si dice normale se:[2]

 

In modo equivalente,   è normale se e solo se:

 

Si ha inoltre che:

 
 

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

Il teorema spettraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema spettrale.

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia   un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso   di dimensione finita  , dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che   è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di   composta da autovettori di  .[3] L'endomorfismo   è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale   esistono una matrice unitaria   ed una diagonale   per cui:

 

I vettori colonna di   sono gli autovettori di   e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che l'operatore   è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se   è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Decomposizione spettraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Caso finito-dimensionaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di   sono ortogonali e in somma diretta:

 

Equivalentemente, se   è la proiezione ortogonale su  , si ha:

 

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Misura a valori di proiettore e Diagonalizzabilità.

Sia   un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert  . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore   tale per cui:

 

dove   è lo spettro di  . Si dice che   è la misura a valori di proiettore associata ad  .

In particolare, se   è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

 

definita sullo spettro   di  , in cui   è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad   nel seguente modo:

 

per ogni funzione misurabile limitata  , e in tal caso si ha:

 

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di  .[4]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale)   a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare   tramite una misura a valori di proiettore limitata   allora   è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad  . Ogni operatore limitato autoaggiunto   può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata  .

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

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