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Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedono tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su .

DefinizioneModifica

Si definisce operatore unitario un isomorfismo   tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:[1]

 

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

 

dove si indica con   l'aggiunto dell'operatore  .

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

 

In spazi vettoriali a dimensione finita la surgettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

SpettroModifica

Lo spettro di un operatore unitario   giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero   nello spettro si ha  . Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che   è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione   misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito   con misura di Borel  . Allora, dal momento che   implica   quasi ovunque rispetto a  , lo spettro essenziale di  , e dunque lo spettro di  , è contenuto nella circonferenza unitaria.

LinearitàModifica

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

 
 
 
 
 

In modo analogo si ottiene:

 

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 39.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
  • (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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