Parallelismo in geometria iperbolica

La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea. Essenzialmente, esistono due tipi di parallelismo in geometria iperbolica: due rette (o oggetti più generali) in uno spazio iperbolico possono essere

  • asintoticamente paralleli se sono paralleli ma "si incontrano all'infinito".
  • ultraparalleli se sono paralleli e divergono all'infinito.

L'aspetto nuovo della geometria iperbolica, non presente nella euclidea, è proprio la possibilità di avere rette ultraparallele. Un'altra differenza sta nel fatto che il parallelismo in geometria iperbolica non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

Rette nel piano iperbolicoModifica

 
Due rette secanti

Due rette nel piano iperbolico possono essere essenzialmente di tre tipi.

Rette secantiModifica

Due rette sono secanti se si intersecano in un punto. Due rette non secanti sono parallele. Esistono però due nozioni ben diverse di parallelismo.

Rette asintoticamente paralleleModifica

 
Due rette asintoticamente parallele

Due rette parallele sono asintoticamente parallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

  • le due rette hanno un punto all'infinito in comune;
  • esistono coppie di punti sulle due rette arbitrariamente vicini (cioè per ogni   esistono due punti   e   appartenenti alle due rette con distanza minore di  );
  • non esiste nessuna retta perpendicolare a entrambe;
  • esiste un orociclo perpendicolare a entrambe.

Rette ultraparalleleModifica

 
Due rette ultraparallele

Due rette parallele sono ultraparallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

  • le due rette non hanno punti all'infinito in comune;
  • la distanza fra punti è limitata inferiormente (cioè esiste   tale che la distanza fra due punti   e   appartenenti alle due rette è sempre maggiore di  );
  • esiste una retta perpendicolare a entrambe;
  • non esiste nessun orociclo perpendicolare a entrambe.

La retta perpendicolare ad entrambe è in realtà unica.

Angolo di parallelismoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Angolo di parallelismo.
 
Le rette parallele a una data   passanti per   formano un angolo  , detto angolo di parallelismo. Al variare dell'angolo si ottengono rette differenti.

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta   ed un punto   disgiunto da  , esistono almeno due rette parallele a   passanti per  . Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.

  1. Sia   il punto di   più vicino a  . Il segmento   è perpendicolare a   (si veda la figura). Ogni retta   passante per   è adesso identificata dall'angolo   che forma con il segmento  . L'angolo è detto angolo di parallelismo di   e  .
  2. Se due rette   e   sono parallele a  , queste formano angoli diversi   e  : ogni altra retta con un angolo compreso fra   e   risulta essere parallela a  .

Le rette parallele a   passanti per   sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente ad un intervallo chiuso  . Le rette con angolo di parallelismo   e   sono asintoticamente parallele a  : in una direzione queste si avvicinano sempre più a  , senza mai intersecarla. Tutte le rette con angolo di parallelismo compreso fra   e   sono invece ultraparallele rispetto a  .

ProprietàModifica

Il parallelismo non è una relazione d'equivalenzaModifica

Il parallelismo in geometria iperbolica non è (a differenza di quanto accade nella geometria euclidea) una relazione d'equivalenza. In particolare, non è vero che se   è parallelo a   e   è parallelo a   allora   è parallelo a  . Per mostrare ciò basta prendere   e   due rette distinte passanti per un punto   non contenuto in  .

Voci correlateModifica

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