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In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di ». Un punto della parte interna di è un punto interno di . La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Indice

DefinizioniModifica

Se   è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora   è un punto interno di   se esiste una palla aperta centrata in   e contenuta in  .

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme   di uno spazio metrico  , infatti se   è uno spazio metrico con metrica  , allora   è un punto interno di   se esiste   tale che   sia in   ogni volta che la distanza è  .

La parte interna di un sottoinsieme   di uno spazio euclideo è l'insieme di tutti i punti interni di S.

L'interno di   è indicato con  ,  , o  . In altre parole:

 

dove si indica con   un intorno di  .

Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Caso generale in uno spazio topologicoModifica

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Sia   spazio topologico e sia  . Un punto   si dice interno a   se   tale che  , ossia se   è un intorno di  .

La parte interna di un sottoinsieme   è l'insieme di tutti i punti interni di   ed è indicato con   oppure  .

ProprietàModifica

Sia   spazio topologico e siano  ,  sottoinsiemi di  .

Allora:

  •   è un aperto in   ed è il più grande aperto contenuto in  ;
  •   è aperto in      ;
  •  ;
  •  
  •  .

Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi spazio metrico e spazio euclideo.

EsempiModifica

  • In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
  • In ogni spazio  , .
  • Se   è lo spazio euclideo   dei numeri reali, allora  .
  • Se   è lo spazio euclideo  , allora la parte interna dell'insieme   dei numeri razionali è vuoto.
  • Se   è il piano complesso  , allora  
  • In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.

Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.

  • Se  , dove   ha la topologia del limite inferiore, allora  .
  • Se si considera su   la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora  .
  • Se si considera su   la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e   stesso, allora  .

Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

  • In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
  • In ogni spazio banale  , dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e   stesso, abbiamo   e per ogni sottoinsieme proprio   di  ,  .

Operatore parte internaModifica

Dato un insieme  , l'operatore parte interna   è il duale dell'operatore di chiusura  , nel senso che

 

e anche

 

dove   indica lo spazio topologico contenente  , e   indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.

BibliografiaModifica

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