Piano (geometria)

concetto primitivo della geometria
Due piani che si intersecano

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta)

  • Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Indice

Piani nello spazio tridimensionaleModifica

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale   è del tipo:

 

con   e   non tutti nulli.

Equazione cartesianaModifica

Piano passante per tre puntiModifica

Siano   tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno ed un solo piano  . Un punto   appartiene al piano   solo se il vettore   è combinazione lineare dei vettori   e  , ovvero se

 

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

 

Dove

 

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce   come segue:

 

Dove   è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra  ,   e  .

Posizioni reciproche di due pianiModifica

 
Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha Rango due il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (infinito alla uno) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (infinito alla due), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (Parallelismo Improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile, e i piani sono paralleli e distinti (Parallelismo Proprio).

Distanza di un punto da un pianoModifica

È possibile calcolare la distanza di un punto   da un piano   utilizzando la seguente formula:

 

In particolare, se  , allora il punto   appartiene al piano  .

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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