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Piano complesso

rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Rappresentazione grafica dei numeri complessi. L'asse Y mostra la parte immaginaria, l'asse X la parte reale del numero.

In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è un modo per visualizzare lo spazio dei numeri complessi. Può essere pensato come un piano cartesiano modificato, con la parte reale rappresentata sull'asse e la parte immaginaria rappresentata sull'asse . L'asse è chiamato anche l'asse reale e l'asse asse immaginario.

Indice

StoriaModifica

Il piano complesso è a volte chiamato piano di Argand per il suo uso nei diagrammi di Argand. La sua creazione è generalmente attribuita a Jean-Robert Argand, in parallelo con Gauss, per cui viene da alcuni anche definito Piano di Gauss. Per non sminuire uno o l'altro matematico viene anche definito Piano di Argand-Gauss anche se fu descritto per la prima volta nel 1799 dal matematico norvegese-danese Caspar Wessel.

UsoModifica

Il concetto del piano complesso consente una interpretazione geometrica dei numeri complessi. Sotto addizione, i numeri complessi si sommano come vettori, mentre la moltiplicazione di numeri complessi può essere geometricamente espressa usando le coordinate polari, dove il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli dei fattori e l'argomento del prodotto (angolo dall'asse reale) è la somma degli angoli dei fattori.

I diagrammi di Argand sono frequentemente usati per graficare la posizione dei poli o di zeri di una funzione nel piano complesso.

Uso e notazioniModifica

Un numero complesso può essere separato in parte reale e immaginaria:

 

dove   e   sono numeri reali, e   è l'unità immaginaria. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta reale euclidea. In questa notazione, il numero complesso   corrisponde al punto   del piano cartesiano. L'ascissa è data da   (la parte reale, l'asse delle  ) e da   (la parte immaginaria, l'asse delle ordinate).

Nel piano cartesiano, il punto   può anche essere rappresentato in coordinate polari come:

 

dove il modulo   e la fase   sono ricavate (per  ) dalle formule

 

Per il calcolo della fase si può usare la funzione arcotangente2.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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