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Poligono regolare

poligono convesso, equilatero ed equiangolo
Pentagono regolare inscritto in una circonferenza.
  • C = centro della circonferenza circoscritta,
  • V = un vertice del poligono,
  • L = un lato del poligono,
  • d = una diagonale del poligono,
  • r = un raggio della circonferenza circoscritta,
  • a = un apotema del poligono.

Un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti fra loro) e equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti fra loro). Si tratta cioè di una porzione convessa di piano euclideo delimitato da una linea spezzata chiusa, formata da una successione di segmenti di uguale lunghezza (detti lati), che formano tra di loro angoli di uguale ampiezza. Il nome poligono individua una pluralità (poli) di angoli (gonos) e il termine regolare sottende a una loro uguaglianza. Come in ogni poligono, il numero di lati coincide con il numero degli angoli e con il numero di vertici, inoltre affinché la porzione di piano individuata da tale spezzata sia non nulla, vi devono essere almeno 3 lati.

Un poligono regolare con 3 angoli si definisce triangolo equilatero, con 4 quadrato, con 5 pentagono regolare, con 6 esagono regolare, e si procede per angoli anteponendo il prefisso che individua il numero di angoli al suffisso -gono seguito dal termine regolare al fine di marcare la distinzione con un poligono generico.

Indice

Prime proprietàModifica

 
Costruzione con riga e compasso di un esagono regolare

Ogni poligono regolare con   lati è inscrivibile e circonscrivibile in due circonferenze, infatti tracciando le bisettrici degli angoli interni si ottengono   triangoli isosceli tutti congruenti e con un vertice in comune, che risulta quindi essere il centro di tali circonferenze.

Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente   assi di simmetria; se poi il numero di lati   è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono. Oltre a queste simmetrie, vi sono anche altre trasformazioni lineari che lasciano invariato il poligono, ossia le rotazioni rispetto al centro di angoli multipli di  . L'insieme di tutte queste trasformazioni forma un gruppo, il gruppo diedrale di ordine  .

Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a  , pertanto la somma degli angoli interni è  . Gli angoli esterni invece misurano   e dunque la loro somma consiste in un angolo di  .

Non tutti i poligoni regolari sono costruibili con riga e compasso, si dimostra infatti che una condizione necessaria e sufficiente perché ciò accada è che i fattori primi dispari del numero di lati siano primi di Fermat distinti. In particolare, il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono e l'esagono regolari sono costruibili con riga e compasso, mentre l'ettagono regolare non lo è.

AngoliModifica

 
  α = angolo al centro,
  β = angolo interno,
  γ = angolo esterno.

Dato che gli   triangoli isosceli in cui è scomponibile il poligono sono tutti congruenti, è chiaro che ogni angolo al centro   ha ampiezza

 

Di conseguenza, dato che gli angoli alla base di tali triangoli isosceli hanno ampiezza che è la metà di ogni angolo interno  , si ha che

 

mentre ogni angolo esterno   ha ampiezza

 

Dato che il numero di angoli interni, esterni e al centro è sempre  , segue che la somma degli angoli interni è

 

mentre la somma di somma degli angoli al centro (o, equivalentemente, degli angoli esterni) è

 

ApotemaModifica

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circonscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono. È facile ricavare una relazione tra l'apotema e il raggio della circonferenza circoscritta. Infatti, dato che i lati uguali di ognuno degli   triangoli isosceli che compongono il poligono sono raggi della circonferenza circoscritta e che gli angoli alla base hanno ampiezza  , risulta che l'apotema (che coincide con l'altezza di tali triangoli) misura

 

ove   è il raggio della circonferenza circoscritta. Esprimendo l'apotema in funzione del lato   del poligono (nonché base del triangolo isoscele), si ha

 

Da queste due equazioni si può anche ricavare il raggio della circonferenza circoscritta in funzione del lato:

 

Perimetro e areaModifica

Il perimetro   è definito come la lunghezza della spezzata che delimita il poligono. Chiaramente risulta

 

o anche, usando le formule della sezione precedente,

 

Per calcolare l'area di un poligono regolare è sufficiente moltiplicare per   l'area dei triangoli isosceli che lo compongono. Quindi, dato che tali triangoli hanno come base un lato e come altezza l'apotema, il poligono regolare di   lati ha area

 

o, equivalentemente,

 

Si noti che per   che tende all'infinito, l'area tende a

 

perché

 

che non è altro che l'area del cerchio circoscritto, confermando così l'intuizione che al crescere del numero dei lati il poligono vada a "riempire" il cerchio circoscritto.

Pentagono, esagono e decagonoModifica

 
I lati AC del Pentagono, BC dell'Esagono e AB del Decagono regolari, inscritti in cerchi di pari raggio, formano i lati di un triangolo rettangolo

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide dimostra la seguente proposizione:

«Se si iscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono regolari che siano inscritti nello stesso cerchio.»

Di questa proposizione Euclide dà una lunga spiegazione geometrica, ma qui ci limiteremo a una verifica ottenibile conoscendo la lunghezza dei lati e applicando il teorema di Pitagora. Ammesso che il cerchio in cui si inscrivono i poligoni abbia raggio unitario, le formule che esprimono le lunghezze del lato   del pentagono,   dell'esagono e   del decagono, sono le seguenti:

  •  
  •  
  •  

Allora:

 

Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati dell'esagono e del decagono.

Tabella riepilogativaModifica

 
Costruzione del pentagono regolare
 
Costruzione approssimata dell'ettagono regolare

N.B.: Se si pensa a un poligono con un grandissimo numero di lati, l'angolo interno di quel poligono tende a diventare piatto, il lato tende a diventare nullo e l'area si avvicina di più a pi greco.

Numero di lati,
angoli e vertici
Poligono Disegno Angolo
interno
Lato[1] Area[1] Animazione: costruzione
con riga e compasso
3 Triangolo
equilatero
  60° √3≅1.732 3/4·√3≅1.299 Costruzione esatta
4 Quadrato   90° √2≅1.414 2 Costruzione esatta
5 Pentagono   108° ≅1.176 ≅2.378 Costruzione esatta
6 Esagono   120° 1 3/2·√3≅2.598 Costruzione esatta
7 Ettagono   ≅128,57° ≅0.868 ≅2.736 Costruzione approssimata
8 Ottagono   135° ≅0.765 2·√2≅2.828 Costruzione esatta
9 Ennagono   140° ≅0.684 ≅2.893 Costruzione approssimata
10 Decagono   144° ≅0.618 ≅2.939 Costruzione esatta
11 Endecagono   ≅147,27° ≅0.563 ≅2.974 Costruzione approssimata
12 Dodecagono   150° ≅0.518 3 Costruzione esatta
13 Tridecagono   ≅152,31° ≅0.479 ≅3.021 Costruzione approssimata
14 Tetradecagono   ≅154,29° ≅0.445 ≅3.037 Costruzione approssimata
15 Pentadecagono   156° ≅0.416 ≅3.051 Costruzione esatta
16 Esadecagono   157,5° ≅0.390 ≅3.061 Costruzione esatta
17 Ettadecagono   ≅158,82° ≅0.367 ≅3.071 Costruzione esatta
34-gono, 51-gono
85-gono, 255-gono
18 Ottadecagono   160° ≅0.347 ≅3.078 Costruzione approssimata
19 Ennadecagono   ≅161,05° ≅0.329 ≅3.085 Costruzione approssimata
20 Icosagono   162° ≅0.313 ≅3.090 Costruzione esatta
257 257-gono ≅178.6° ≅0.024 ≅3,141 Costruzione esatta
65537 65537-gono ≅179.9945° ≅0.000096 ≅3,1416 Costruzione parziale

NoteModifica

  1. ^ a b Riferito al poligono regolare con raggio circoscritto pari a uno.

Voci correlateModifica

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