Polinomi ortogonali

In matematica, una famiglia di polinomi per dove per ogni si ha un polinomio di grado , si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso positiva nell'intervallo scelto se

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi e dia

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

  • I polinomi di Čebyšëv di prima specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
  • I polinomi di Čebyšëv di seconda specie , ortogonali nell'intervallo rispetto alla funzione peso
  • I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
  • I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità
  • I polinomi di Laguerre con , ortogonali nell'intervallo rispetto alla distribuzione di probabilità

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

dove gli sono numeri interi nell'intervallo . Con questa definizione,

  • i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con );
  • i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione (con ).

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.

Polinomi ortonormaliModifica

In linea con la definizione di base ortonormale, dei polinomi ortogonali si dicono ortonormali se soddisfano la relazione:

 

per ogni  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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