Polinomio a valori interi

In matematica, un polinomio a valori interi è un polinomio $P(x)$ a coefficienti razionali tale che $P(n)$ è un numero intero per ogni intero $n$. Tutti i polinomi a coefficienti interi sono a valori interi, ma non viceversa: ad esempio, il polinomio

${\frac {x(x+1)}{2}}={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x$

è a valori interi ma i suoi coefficienti non sono interi.

Classificazione

Tutti i polinomi nella forma

$P_{k}(x)={\frac {x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}$

sono polinomi a valori interi, perché per ogni intero $t$ il valore di $P_{k}(t)$ è uguale al coefficiente binomiale ${\binom {t}{k}}$, che è un numero intero.

Pólya dimostrò nel 1919 che tutti i polinomi a valori interi derivano da questi: più precisamente, se $P(x)$ è un polinomio a valori interi allora esistono dei coefficienti interi $a_{0},\ldots ,a_{n}$ (univocamente determinati) tali che

$P(x)=a_{0}+a_{1}P_{1}(x)+\cdots +a_{n}P_{n}(x)$.

Dal punto di vista algebrico, questo implica che l'insieme dei polinomi a valori interi è un gruppo abeliano libero, e l'insieme $\{1,P_{1}(x),P_{2}(x),\ldots \}$ è una sua base.

La dimostrazione di questo teorema è effettuata attraverso il metodo delle differenze finite.

L'insieme dei polinomi a valori interi è anche un anello, che è strettamente contenuto tra i due anelli dei polinomi $\mathbb {Z} [x]$ e $\mathbb {Q} [x]$ dei polinomi a coefficienti (rispettivamente) interi e razionali, ed è generalmente indicato come $\mathrm {Int} (\mathbb {Z} )$. Dal punto di vista algebrico, questo anello è un dominio di Prüfer di dimensione 2; in particolare, non è noetheriano. I suoi ideali primi possono essere classificati attraverso i completamenti delle localizzazioni di $\mathbb {Z}$ rispetto ai suoi ideali primi.

Generalizzazioni

Il concetto di polinomio a valori interi può essere generalizzato a qualsiasi dominio d'integrità $D$: l'insieme $\mathrm {Int} (D)$ dei polinomi a valori interi su $D$ è formato dai polinomi $P(x)$ a coefficienti nel campo dei quozienti $K$ di $D$ tali che $P(d)\in D$ per ogni $d\in D$. La struttura di $\mathrm {Int} (D)$ come $D$-modulo e come anello è strettamente legata alle proprietà algebriche di $D$. Ad esempio, se $D$ è un dominio noetheriano, allora $\mathrm {Int} (D)$ è un dominio di Prüfer se e solo se $D$ è un dominio di Dedekind i cui campi residui sono finiti. È anche possibile che $\mathrm {Int} (D)$ coincida semplicemente con l'anello dei polinomi $D[x]$, come ad esempio nel caso in cui i campi residui di $D$ siano infiniti.

È inoltre possibile considerare non sono polinomi, ma più in generale funzioni razionali o funzioni intere a valori interi, così come è possibile considerare polinomi che hanno più di una indeterminata. Ad esempio, se $V$ è un dominio di valutazione discreta e $\pi$ è un elemento che genera il suo ideale massimale, allora

$P(x)={\frac {x}{\pi +x^{2}}}$

è una funzione razionale che è a valori interi su $V$ (ovvero $f(t)\in V$ per ogni $t\in V$).

Infine, queste costruzioni possono essere considerate considerando polinomi (o funzioni razionali) che abbiano valori interi solo su un sottoinsieme $E\subseteq D$ o, ancora più in generale, su un insieme $E$ che è contenuto in un campo che contiene anche $D$; ovvero, è possibile considerare l'insieme

$\mathrm {Int} (E,D)=\{P(x)\in K[x]\mid P(t)\in D\mathrm {~per~ogni~} t\in E\}$,

dove $K$ è il campo dei quozienti di $D$. In questo caso, le proprietà di $\mathrm {Int} (E,D)$ dipendono sia dalle proprietà di $D$ che da quelle di $E$.

Bibliografia

• (EN) Paul-Jean Cahen e Jean-Luc Chabert, Integer-Valued Polynomials, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0388-3.