Potenziale scalare

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Il potenziale scalare è un campo scalare il cui gradiente è un campo vettoriale dato, ed è studiato in matematica applicata, in particolare nel calcolo vettoriale. Storicamente il concetto è nato per descrivere il campo elettrostatico.

DefinizioneModifica

Dato un campo vettoriale  , si chiama potenziale scalare una funzione   tale che:

    

ovvero il gradiente di   è il campo vettoriale stesso. Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un campo conservativo. In questo caso il carattere vettoriale del campo   si perde poiché esso può essere descritto da un campo scalare (con conseguente perdita di entropia di informazione),

In modo equivalente, se   è conservativo (il suo rotore è nullo) e le sue componenti hanno derivate parziali continue, il potenziale di   in   rispetto alla posizione   è dato dall'integrale di linea:

 

dove   è una qualsiasi curva parametrizzata che congiunge   a  :

 

In tre dimensioni, ponendo   e   si ha:

 

e le componenti di   sono:

 
 
 

ovvero le derivate parziali del potenziale rispetto alla variabile  ,   e  . Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di equazioni differenziali che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una costante  .

Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

Potenziale gravitazionaleModifica

Nell'ambito della meccanica classica, secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme, o da un corpo rigido con densità a simmetria sferica (si veda il teorema del guscio sferico), di massa  , che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è:

 

dove   è il modulo della distanza e   il suo versore, mentre   è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale avrà l'espressione:

 

dove   è l'energia potenziale gravitazionale del corpo di massa   posizionato in  . Per convenzione, la costante additiva   si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per   tendente all'infinito.

Quando si consideri una fascia limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante (con modulo pari a  ) diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:

 

dove   è il valore dell'accelerazione di gravità medio in quella regione; si tenga presente che sulla superficie terrestre esso è in media pari a circa 9,81 m/s². La costante   può essere scelta arbitrariamente perché all'interno della fascia sono di interesse solo le variazioni di potenziale. L'unità di misura del potenziale gravitazionale è il  .

Potenziale elettrostaticoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Campo elettrico.

Il fatto che il campo elettrostatico sia rappresentabile come un potenziale scalare è legato al fatto che sia un campo irrotazionale (caso particolare della legge di Faraday per l'elettrostatica):

 

infatti in questo caso il teorema del rotore garantisce che un campo di rotore nullo ha un semplice potenziale scalare:

 

qui V è il potenziale scalare che abbiamo associato al campo elettrostatico, chiamato potenziale elettrostatico. L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt: tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di 1 J per portare una carica di 1 C da A a B. Nel caso generale dell'elettrodinamica la legge di Faraday rende invece il campo elettrico rotazionale in modo proporzionale alla variazione nel tempo del campo magnetico:

 

D'altra parte, la legge di Gauss magnetica equivale per il teorema della divergenza a dire che il campo magnetico ammette un potenziale vettore:

 

rispetto al caso precedente basta aggiungere un termine:

 

ovvero la legge di Faraday corrisponde ad esprimere il campo elettrico nella seguente funzione dei potenziali elettrostatico e magnetico:

 

Energia elettrostaticaModifica

Il potenziale elettrico corrisponde all'energia potenziale associata ad una carica puntiforme per unità di carica elettrica, poiché il campo magnetico non ammette energia potenziale. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

 

PressioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Meccanica del continuo.

In fluidodinamica e in fluidostatica classiche se viene introdotta la semplificazione di fluido ideale, la pressione è l'energia potenziale per unità di volume delle forze di superficie. In fluidostatica nello stesso tempo lo è anche delle forze di volume.

Diffusività materialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diffusività di materia.

La velocità in un mezzo diffusivo ammette un potenziale cinetico detto diffusività, : :

 .

mentre nel caso generale, in cui il rotore della velocità non è nullo, la velocità è funzione anche di altri parametri legati ad esso.

Nel caso diffusivo si dimostrano valide le leggi di Fick.

BibliografiaModifica

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)
  • (EN) D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press (2005)

Voci correlateModifica