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In matematica e fisica, in particolare nel calcolo vettoriale, il potenziale scalare è un campo scalare il cui gradiente è un campo vettoriale.

Indice

DefinizioneModifica

Dato un campo vettoriale  , il potenziale scalare è una funzione   tale che:

 

ovvero il gradiente di   è il campo vettoriale stesso. Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un campo conservativo.

In modo equivalente, se   è conservativo (il suo rotore è nullo) e le sue componenti hanno derivate parziali continue, il potenziale di   in   rispetto alla posizione   è dato dall'integrale di linea:

 

dove   è una curva parametrizzata che congiunge   a  :

 

In tre dimensioni, ponendo   e   si ha:

 

e le componenti di   sono:

 
 
 

ovvero le derivate parziali del potenziale rispetto alla variabile  ,   e  . Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di equazioni differenziali che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una costante  .

Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'energia potenziale di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la forza agente sul corpo.

Potenziale gravitazionaleModifica

Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme di massa  , che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli assi cartesiani, è:

 

dove   è il modulo della distanza e   il suo versore, mentre   è la costante di gravitazione universale. Di conseguenza il potenziale avrà l'espressione:

 

dove   è l'energia potenziale del corpo. Per convenzione, la costante additiva   si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la condizione al contorno che il potenziale si annulli per   tendente all'infinito.

Quando si consideri una regione limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:

 

dove   è il valore dell'accelerazione di gravità, che sulla superficie terrestre è pari a circa 9,81 m/s². La costante   si determina fissando una quota di riferimento alla quale il potenziale è nullo. L'unità di misura del potenziale gravitazionale è il  .

Potenziale elettrostaticoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Campo elettrico.

Il campo elettrostatico ammette un potenziale elettrico, mentre nel caso generale il campo elettrico è funzione anche della variazione temporale del potenziale magnetico:

 

Il potenziale elettrico corrisponde al valore dell'energia potenziale associato ad una carica puntiforme per unità di carica elettrica, poiché il campo magnetico non ammette energia potenziale. L'energia potenziale della carica è il livello di energia che la carica possiede a causa della sua posizione all'interno del campo elettrico; pertanto il potenziale elettrico della carica di prova è il rapporto tra l'energia potenziale e il valore della carica stessa, cioè:

 

L'unità di misura del potenziale elettrico è il volt: tra due punti A e B di una regione di spazio sede di un campo elettrico c'è una differenza di potenziale di 1 V se la forza elettrica compie il lavoro di 1 J per portare una carica di 1 C da A a B.

Diffusività materialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diffusività di materia.

La velocità in un mezzo diffusivo ammette un potenziale cinetico detto diffusività, mentre nel caso generale la velocità è funzione anche di altri parametri legati al suo rotore:

 .

Nel caso diffusivo si dimostrano valide le leggi di Fick.

BibliografiaModifica

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005)
  • (EN) D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press (2005)

Voci correlateModifica