Superficie parametrica

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Una parametrizzazione è un'applicazione, più nello specifico una funzione vettoriale, infinitamente differenziabile in aperto e connesso. Per e l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.

Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:

Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:

  • , cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto .
  • La matrice Jacobiana , abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva.
  • La corrispondenza tra e sia iniettiva.

Linee coordinateModifica

Una superficie è un oggetto bidimensionale che vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti   nel dominio   si trovano i punti dello spazio  . Le variabili   sono dette parametri coordinati.

Se sul dominio   si considera un punto  , per esso passeranno due curve:  . In corrispondenza a questo punto sulla superficie vi sarà un punto:

 

Cioè:

 

Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):

 

Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:

 

e i vettori normali:

 

I versori normali sono dati:

 

Piano tangenteModifica

Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto   dato dalla:

 

Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2. Questo piano, ha la proprietà di contenere i vettori tangenti a tutte le curve situate sulla superficie e passanti per il punto considerato.

L'ipotesi di regolarità della superficie parametrica, implica l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Si parla di piano tangente in   a  , altrimenti denotato con  .

Il piano tangente è indipendente dalla parametrizzazione usata.

Prima forma differenziale di GaussModifica

A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie  , cioè alle proprietà metriche della superficie e fondamentale il calcolo di area di una superficie. Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano  , nel punto  :  . A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie  :

 

Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:

 

Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione:   e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:

 

dove:

 

 

 

Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare:  .

Si chiama prima forma fondamentale, e si indica con  , la restrizione del prodotto scalare di   su  . Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:

 

Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie  :

 

Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:

 

dove   è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.

Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:

 

e anche un qualsiasi integrale di superficie:

 

Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:

 

e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.

Seconda forma differenziale di GaussModifica

La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.

Sia dunque   il versore normale ottenibile dal vettore normale:

 

Dalla prima forma differenziale di Gauss:

 

Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:

 
 
 

Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:

 

Dunque li possiamo esplicitare:

 
 
 

Curvature normaliModifica

Si chiama curvatura normale della superficie   in un punto   nella direzione della linea   e della linea   rispettivamente, la funzione:

 
 

Curvature principali e curvatura di GaussModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore di Weingarten.

Sono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con   le curvature principali di una superficie in un punto  , allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:

 

e definiamo anche la curvatura media:

 

Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

ConseguenzeModifica

Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche:

  1. La curvatura delle curve sulla superficie segue dal teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.
  2. La curvatura della superficie segue dal theorema egregium di Gauss.
  3. Teorema di Dupin.

Voci correlateModifica

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