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Primo teorema di Euclide.svg

In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema attinente al triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:

  1. mediante l'equiestensione tra figure:
    In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.
  2. mediante relazioni tra segmenti:
    In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Indice

Enunciato con l'equivalenzaModifica

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Dimostrazione

Facendo riferimento alla figura, si consideri il triangolo rettangolo  . Sul cateto   si costruisca il quadrato   e sia   la proiezione del cateto   sull'ipotenusa  . Si costruisca il rettangolo   avente   congruente a  . Si prolunghi il lato   dalla parte di   fino ad incontrare in   la retta contenente il segmento   e in   la retta contenente il segmento  . Si vuole dimostrare che il quadrato   è equivalente al rettangolo  .

Si considerino ora i triangoli   e  . Essi hanno:

  •   è congruente a   per costruzione,
  • l'angolo   congruente all'angolo   perché retti
  • l'angolo   è congruente all'angolo   perché entrambi complementari dello stesso angolo  .

Dunque, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli   e   sono congruenti, e in particolare si ha che   è congruente a  .

Si considerino il quadrato   e il parallelogramma  . Essi hanno la stessa base   e la stessa altezza   (perché   e   appartengono alla stessa retta) e quindi sono equivalenti.

Si considerino il parallelogramma   e il rettangolo  . Essi hanno basi congruenti (infatti   è congruente a   per dimostrazione precedente, e   è congruente a   per costruzione, quindi   è congruente a   per la proprietà transitiva della congruenza) e la stessa altezza (infatti   e   appartengono alla stessa retta, e così pure   e  ), quindi sono equivalenti.

Allora, per la proprietà transitiva dell'equivalenza, il quadrato   è equivalente al rettangolo  .

Enunciato con la proporzioneModifica

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura:  . In modo equivalente:  · .

DimostrazioneModifica

Si considerino i triangoli   e  . Essi hanno tutti gli angoli congruenti (sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in   in comune), e quindi sono simili per il primo criterio di similitudine. Da ciò si ricava:  .

Voci correlateModifica

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