Apri il menu principale

In meccanica razionale il primo teorema di König, dovuto a Johann Samuel König, dimostra che il momento angolare di un sistema qualsiasi è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento angolare del sistema riferito ad esso.

Indice

Il teoremaModifica

Il teorema afferma che in un sistema di riferimento inerziale il momento angolare complessivo si può scrivere come la somma del momento angolare:

 

relativo al moto del centro di massa, dato dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto del centro di massa, e di quello   relativo al moto del sistema rispetto al centro di massa:

 

Questo teorema dimostra che il moto di un sistema di punti materiali può essere descritto attraverso il moto del centro di massa ed il moto interno del sistema rispetto al centro di massa.

DimostrazioneModifica

Assumendo come polo l'origine di un sistema di riferimento qualsiasi, il momento angolare totale di un sistema di punti è la somma dei momenti angolari di ogni suo componente:

 

Poiché il vettore che descrive la posizione di ogni punto può essere scritto come la somma della posizione del centro di massa e la posizione del punto rispetto al centro di massa:

 

ed analogamente:

 

si ottiene:

 

Esplicitando la relazione:

 

Il secondo e il terzo termine sono entrambi nulli per definizione di centro di massa, infatti valgono le equazioni:

 
 

mentre il primo termine rappresenta il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e il quarto rappresenta il momento angolare del centro di massa:

 

Dove   è la massa totale del sistema.

Corpo rigidoModifica

Per un corpo rigido, il termine che viene sommato al momento angolare del centro di massa rappresenta quello di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa. Infatti dal teorema fondamentale della cinematica del corpo rigido:

 

Ne segue:

 

Lungo gli assi principali  , con  , tali che   si ha:

 

Globalmente il momento angolare assume quindi la forma vettoriale:

 

dove M è la massa totale, vCM è il modulo della velocità del centro di massa,   il tensore di inerzia del corpo rispetto al centro di massa e la velocità angolare ω.

BibliografiaModifica

  • P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica), 2ª ed., ISBN 978-88-7959-418-9, Edises, 2007.

Voci correlateModifica