Principio di minima azione

Il principio di minima azione (o più generalmente principio di azione stazionaria) è un principio variazionale a partire dal quale si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico. Più precisamente, se un sistema è olonomo e monogenico allora è possibile derivare dal principio le equazioni di Lagrange.^[1]

Il nome deriva storicamente dall'osservazione che in meccanica newtoniana nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata, anche se la condizione di punto stazionario è sufficiente.

Esempi classici

Tra gli esempi più noti vi sono:

il principio di Maupertuis, che impone la condizione di minimo all'integrale dell'azione ridotta sulla traiettoria reale.
il principio variazionale di Hamilton, che riguarda la stazionarietà dell'integrale d'azione nella traiettoria reale del moto.

Formulazione moderna

Detta ${\mathcal {S}}$ l'azione, il principio di minima azione stabilisce che ad una leggera perturbazione della reale evoluzione del sistema tra due istanti di tempo $t_{1}$ e $t_{2}$ corrisponde un cambiamento al secondo ordine dell'azione ${\mathcal {S}}$ , ovvero nell'intervallo di tempo considerato si ha un punto stazionario (solitamente un punto di minimo):^[2]^[3]^[4]

\delta {\mathcal {S}}=0

dove $\delta$ indica un "piccolo" cambiamento. Esplicitamente:

\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\;\mathrm {d} t=0

con ${\mathcal {L}}$ la lagrangiana.

Note

^ Herbert Goldstein, Charles P., Jr. Poole e John L. Safko, Classical Mechanics, 3ª ed., San Francisco, CA, Addison Wesley, 2002, pp. 18–21,45, ISBN 0-201-65702-3.
^ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
^ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 1998, ISBN 978-0-521-57572-0

Bibliografia

(EN) T.W.B. Kibble, Classical mechanics, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Daniel D. Baumann - Principle of Least Action (PDF), su damtp.cam.ac.uk. URL consultato il 23 settembre 2015 (archiviato dall'url originale il 10 ottobre 2015).
(EN) Feynman - Lectures On Physics - Chapter 2 (PDF), su yima.csl.illinois.edu. URL consultato il 18 agosto 2014 (archiviato dall'url originale il 31 gennaio 2015).
(EN) Interactive explanation of the principle of least action, su eftaylor.com.
(EN) Interactive applet to construct trajectories using principle of least action, su eftaylor.com.
(EN) John C. Baez - Lectures on Classical Mechanics (PDF), su math.ucr.edu.

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[goldstein2002-1] Herbert Goldstein, Charles P., Jr. Poole e John L. Safko, Classical Mechanics, 3ª ed., San Francisco, CA, Addison Wesley, 2002, pp. 18–21,45, ISBN 0-201-65702-3.

[2] Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3

[3] McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3

[Hand_Finch-4] Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 1998, ISBN 978-0-521-57572-0

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