Probabilità condizionata

In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento A rispetto a un evento B è la probabilità che si verifichi A, sapendo che B è verificato. Questa probabilità, indicata o , esprime una "correzione" delle aspettative per A, dettata dall'osservazione di B.

Poiché, come si vedra' nella successiva definizione, compare al denominatore, ha senso solo se B ha una probabilità non nulla di verificarsi.
È utile osservare che la notazione con il simbolo "Barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.

Indice

EsempioModifica

Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento A) ha probabilità P(A)=1/6 di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento B), la probabilità di A diventa

 .

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento A) ha probabilità P(A)=1/6 di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento B), la probabilità di A diventa

 .

DefinizioneModifica

La probabilità di A condizionata da B è

 ,

dove   è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile   di misura P, ogni evento B eredita una struttura di spazio misurato  , restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in B, ed induce una nuova misura   su  , con  . Se   è uno spazio probabilizzato ( ) e B non è trascurabile ( ), allora riscalando   a   si ottiene lo spazio probabilizzato   delle probabilità condizionate da B.

ProprietàModifica

La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

 

Ovvero, la probabilità che si verifichino sia A sia B è pari alla probabilità che si verifichi B moltiplicata per la probabilità che si verifichi A supponendo che B sia verificato.

Due eventi A e B sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti

  •  ;
  •  ;
  •  .

Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato si può usare la seguente formula:

 .

Casi particolariModifica

Se A e B sono eventi disgiunti, cioè se  , le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento A implica l'evento B, cioè se  , allora la loro intersezione è A, per cui   e:

  •   (A implica B);
  •   (B è necessario per A).

Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per P(A|B) esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli (A) su casi possibili (B)".
Invece, per P(B|A) otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.

Ulteriori definizioniModifica

La speranza condizionata   di una variabile aleatoria X ad un evento B è la speranza di X calcolata sulle probabilità   (condizionate da B).

La probabilità di un evento A può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta X, originando una nuova variabile aleatoria,  , che per X=x assume il valore  .

ApplicazioniModifica

Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica   del teorema della probabilità composta come

 .

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove P è detta "probabilità a priori di B" e PB "probabilità a posteriori di 'B".

ParadossiModifica

Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di P(A|B) con P(A) o con P(B|A).

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica