Probabilità condizionata
In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento rispetto a un evento è la probabilità che si verifichi sapendo che è verificato. Questa probabilità, indicata o , esprime una "correzione" delle aspettative per dettata dall'osservazione di
Poiché, come si vedrà nella successiva definizione, compare al denominatore, ha senso solo se ha una probabilità non nulla di verificarsi.
È utile osservare che la notazione con il simbolo "barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.
Esempio
modificaPer esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento ) ha probabilità di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ), la probabilità di diventa
Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento ) ha probabilità di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ), la probabilità di diventa
Definizione
modificaLa probabilità di condizionata da è
dove è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.
In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile di misura ogni evento eredita una struttura di spazio misurato , restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in ed induce una nuova misura su , con . Se è uno spazio probabilizzato ( ) e non è trascurabile ( ), allora riscalando a si ottiene lo spazio probabilizzato delle probabilità condizionate da
Proprietà
modificaLa formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come
Ossia, la probabilità che si verifichino sia sia è uguale alla probabilità che si verifichi moltiplicata per la probabilità che si verifichi supponendo che sia verificato.
Due eventi e sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti:
Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato (anche detto complementare) si può usare la seguente formula:
Casi particolari
modificaSe e sono eventi disgiunti, cioè se , le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.
Se l'evento implica l'evento , cioè se , allora la loro intersezione è per cui e:
- ( implica );
- ( è necessario per ).
Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli ( ) su casi possibili ( )".
Invece, per otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.
Ulteriori definizioni
modificaIl valore atteso condizionato di una variabile aleatoria ad un evento è il valore atteso di calcolato sulle probabilità (cioè condizionate da ).
La probabilità di un evento può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta originando una nuova variabile aleatoria, , che per assume il valore .
Applicazioni
modificaIl teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica del teorema della probabilità composta come
Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove è detta "probabilità a priori di " e "probabilità a posteriori di ".
Paradossi
modificaMolti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di con o con
Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.
Bibliografia
modifica- Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-1316794-6
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla probabilità condizionata
Collegamenti esterni
modifica- Probabilita condizionata, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Stephen Eldridge, conditional probability, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Conditional Probability, su MathWorld, Wolfram Research.